Hace algo más de 20 años, el siguiente ejercicio se asignó a una clase como ejercicio de las vacaciones de Navidad. Busqué durante un tiempo si se había publicado aquí antes, y no pude encontrarlo. Supongo que podría plantearlo aquí como una adivinanza de fin de año. Estaba en alemán; espero poder traducirlo de manera que se conserve su espíritu.
Dos políticos discuten quién de los dos es capaz de dar la charla más larga, sin decir lo mismo tres veces seguidas. Sin embargo, hay un problema: ambos sólo conocen dos palabras: "pero" (B) y "si" (I).
El primero comienza con "B", el segundo responde "BI", que es contrarrestado por "BIIB". El segundo político es bastante brillante, simplemente repite literalmente la última charla dada por el otro, luego retoma esa charla pero intercambia B e I y anexa el resultado de esta operación a la primera charla. Su oponente se da cuenta de esta estrategia y procede de la misma manera. Así que tenemos conversaciones $$ B, B\, I, BI\, IB, BIIB\, IBBI, BIIB IBBI\, IBBIBIIB, ...$$ Es decir, el $k$ -a la hora de hablar $T_k$ tiene una longitud $2^{k-1}$ y coincide con la primera mitad de $T_{k+1}$ .
Llega un matemático que tampoco tiene mucho que aportar. Pero resuelve la controversia a la manera de un matemático. Da una charla $T$ de longitud infinita, tal que la primera $2^{k-1}$ palabras de $T$ Estoy de acuerdo con $T_k$ . Después (¡!) se va y deja a los políticos que demuestren que en su charla nunca había dicho lo mismo tres veces seguidas, para ser más precisos, en ninguna parte de su charla $T$ existe un segmento $S$ de longitud finita que se presenta tres veces como una secuencia $SSS$ en $T$ .
¿Cómo lo demuestra? :-)
