Dejar $U,V,W$ sea un subespacio del espacio vectorial finito P. y definir el mapa lineal $L$ así. $$L : U \times V \times W \rightarrow P^3$$ más específicamente, $$L(u,v,w)=(u-v,v-w,w-u)$$
obviamente, $$Im(L)=(U+V)\times (V+W)\times (W+U)$$
(cuando
$Im(L)=\{p\in P^3 : ~\exists$ $(u,v,w)$$ \en U\Ntiempo V\Ntiempo W $ such that $ L(u,v,w)=p}$
$U+V=\{u+v : u\in U, v\in V\}$
$U\times V = \{(u,v) : u\in U, v\in V\}$ )
así que pensé que la siguiente ecuación es verdadera: $$\dim\text{Im}(L)= \dim(U+V)+\dim(V+W) +\dim(W+U)$$
simplemente usando $dim(V\times W)=dim(V)+dim(W)$ dos veces .. sin embargo, se encuentra con la contradicción si trato de utilizar la siguiente relación. $$dim(U \times V \times W)=dimkerL + dimImL$$
aplicando $dimkerL=dim(U\cap V \cap W$ ), obtengo $$dim(U)+dim(V)+dim(W)-dim(U\cap V)-dim(V\cap W)-dim(W\cap U)+dim(U\cap V\cap W)=0$$ que no tiene ningún sentido.
Supongo que el problema es de la dimensión de la imagen. (gracias por su ayuda)
