¿por qué no se puede sheafificar la preseaf de estructura de un espacio adic

Question

En la definición de un espacio adic, suele haber una preseaf definida diciendo primero lo que es en una base particular de la topología del espacio subyacente, los llamados subconjuntos racionales. A continuación, se extiende esto a aperturas arbitrarias tomando el límite sobre todos los subconjuntos racionales dentro de la apertura dada. Sin embargo, en todas las referencias que he consultado hasta ahora, se señala rápidamente que, en general, no se trata de una gavilla, seguida de una lista de casos particulares en los que sí lo es.

En Geometría Algebraica, hay muchas ocasiones en las que alguna construcción no da una gavilla y uno simplemente la obliga a serlo diciendo "¡Sheafify!" Así que la pregunta es:

-¿Por qué no se puede sheafificar la preseaf de estructura de un espacio adic? ¿No existe un functor de sheafificación en este caso? Si no es así, ¿qué es lo que falla?

Answer 1

En realidad, existe un proceso de sheafificación utilizado en la construcción clásica de la geometría rígida, que se utiliza para pasar de la topología G débil a la fuerte (véase la sección 9.2.2 del Análisis no arquimédico de Bosch, Güntzer, Remmert, por ejemplo).

En cuanto a por qué la gente no lo utiliza en el caso de los espacios no sheafy, yo diría que si depende de lo que quieras hacer. Si te basta con conocer los tallos de la estructura gavilla, entonces bien. Pero, como señaló Dylan Wilson, es probable que no termines con las secciones globales que esperas. Para un ejemplo explícito, véase el teorema 3.15 del artículo de Mihara "On Tate Acyclicity and Uniformity of Berkovich Spectra and Adic Spectra" ( http://arxiv.org/abs/1403.7856 ).