Es $|\sin(x+h)-\sin x-h\cos x|<h^2/2$ ?

Question

Este es un problema extraído del libro de Boris Demidovich Problemas de análisis matemático . Cito el texto verbatim :

Demuestra que $\sin{(x+h)}$ difiere de $$\sin{x}+h\cos{x}$$ por no más de $1/2\cdot h^2$

Esto, supongo, equivale a demostrar que $$|\sin(x+h)-\sin x-h\cos x|<\frac{h^2}2.$$ Sin embargo, utilizando Wolfram Alpha, me he dado cuenta de que la desigualdad no se cumple para ciertos valores de $x$ y $h$ . ¿Es un error mío o el planteamiento del problema es incorrecto?

Answer 1

Ampliar $f(h) = \sin(x+h)$ en su polinomio de orden $2$ en $h=0$ para conseguir

$$\sin(x+h) = \sin x+ h \cos(x) +f''(\xi) h^2/2$$

Porque $|f''|\leqslant 1$ se obtiene el límite requerido.

Answer 2

$$\sin(x+h)-\sin x-h\cos x=\int_0^h\left(\cos(x+t)-\cos(x)\right)\,dt$$

$$=\int_0^h\int_0^t\left(-\sin(x+u)\,du\right)\,dt$$

Así que, como $\vert \sin \vert \le 1$ y $\vert\int f(x)\,dx\vert\le\vert\int \vert f(x)\vert\,dx\vert$ :

$$\vert\sin(x+h)-\sin x-h\cos x\vert\le\left\vert\int_0^{h}\int_0^t 1\,du\,dt\right\vert\le\left\vert\int_0^{h}t\,dt\right\vert=\frac{1}{2}h^2$$

según sea necesario.