$8$ -operación de los medios de comunicación $(\mathbb{P}^2)^8 \text{ }-\to \mathbb{P}^2$ ¿podemos decir algo sobre cómo sería esta fórmula?

Question

Mi amigo, que actualmente está tomando un curso de geometría algebraica de un prolífico cartel sin nombre en MO, me habló de la siguiente pregunta extra en uno de sus juegos de problemas hace unas semanas.

Discusión preliminar. Por el Teorema de Bézout (que demostraremos más adelante en el curso), dos cúbicos planos en posición general uno respecto del otro, y por lo tanto dos miembros cualesquiera del lápiz que abarcan, se intersecan en $9$ puntos. La pregunta anterior muestra que, de hecho, este lápiz ya está determinado por $8$ de la $9$ puntos de intersección.

De esto se pueden deducir dos cosas:

(a) $9$ puntos en posición general no puede surgen como la intersección de dos curvas cúbicas proyectivas.

(b) $8$ Los puntos en posición general determinan un $9$ punto (es decir, el $9$ punto común de intersección del lápiz de cúbicos determinado por el $9$ dar puntos).

Podemos considerar este proceso como la definición de un tipo de $8$ -operación de los medios de comunicación $$(\mathbb{P}^2)^8\text{ }-\to \mathbb{P}^2.$$ (Utilizamos una flecha rota porque esta operación no está realmente definida en todo $8$ -partidas de puntos en $\mathbb{P}^2$ pero sólo en los de posición general. Es un ejemplo de lo que se llama un mapa racional en la geometría algebraica).

Pregunta de bonificación real. ¿Puede decir algo sobre cómo sería esta fórmula (por ejemplo, su grado)?

Esto plantea la pregunta natural, ¿existe un espacio de moduli natural $X$ de $9$ puntos para que nuestro mapa $X \to$ $9$ ¿El punto es realmente un mapa y no sólo algo racional? Podríamos empezar con $\text{Hilb}^8 \,\mathbb{P}^2$ y averiguar cómo tenemos que modificarlo.

Llegados a este punto, podríamos comentar lo siguiente. Presumiblemente, sería un subesquema abierto de $\text{Hilb}^8\,\mathbb{P}^2$ ? No podemos obtener la posición general ya como un subesquema abierto de $(\mathbb{P}^2)^8$ porque tendríamos que dar cuenta de infinitas cosas cerradas para desechar. pero tal vez podríamos conseguir que esto funcione al pasar al esquema de Hilbert. En realidad, intuitivamente, probablemente no - probablemente tendríamos que añadir parámetros extra o algo para parametrizar todas las cosas posibles que necesitaríamos desechar? Pero definitivamente parece posible.

O espera, la dependencia lineal es definitivamente finitamente codificable, por lo que podemos obtener finitamente muchas cosas para tirar ya en el $(\mathbb{P}^2)^8$ caso. Obviamente, al ser un mapa racional, está definido en un subconjunto abierto. Preguntas básicas de grado como "si fijamos $7$ y un punto de destino, ¿cuál es el lugar de los posibles $8$ El "punto" también puede abordarse en ese contexto geométrico. Entonces, ¿el esquema de Hilbert nos compra algo? Evidentemente, la simetría de los arreglos de los puntos y demás, por lo que suponemos que es un objetivo en sí mismo. Y sería útil, por ejemplo, si quisiéramos considerar "familias" de puntos sobre algo, el esquema de Hilbert nos permitiría ver los posibles comportamientos de forma más limpia. Sin embargo, no sabemos si podríamos convencer a otra persona de que el esquema de Hilbert aporta algo aquí.

Además, pero espera, el extraño comportamiento de explosión del esquema de Hilbert de puntos sólo ocurre en las diagonales, así que en este caso, el subesquema abierto del esquema de Hilbert de puntos sería literalmente sólo el cociente simétrico de $(\mathbb{P}^2)^8$ , por lo que, en particular, cualquier comportamiento de la misma es recuperable de forma extremadamente sencilla a partir de esta última.

Con respecto a estos comentarios, el objetivo de utilizar el esquema de Hilbert es que queremos entender lo que ocurre en los puntos no genéricos para hacer muchas cosas (por ejemplo, la teoría de la intersección) porque necesitamos la propiedad, que vamos a conseguir modificando el esquema de Hilbert de alguna manera, esperemos que pequeña.

Llegados a este punto, podríamos comentar que no vemos una forma obvia de extender el mapa racional a todo $\text{Hilb}$ . Es concebible, $\text{Hilb}$ podría ayudar, ya que las explosiones nos dan información extra sobre cómo los puntos se acercan a las posiciones degeneradas, pero no sabemos cómo hacerlo realmente.

Con respecto a esa observación, cierto, el mapa racional no se extiende a $\text{Hilb}$ y por eso tenemos que modificar $\text{Hilb}$ primero.

En este punto, podríamos comentar si es cierto, pero no vemos por qué modificar a priori $\text{Hilb}$ para tener este comportamiento es más fácil que modificar $(\mathbb{P}^2)^8$ .

Con respecto a esta observación, pensamos que $\text{Hilb}$ es el punto de partida correcto porque la intersección de $2$ diferentes curvas cúbicas es una longitud $9$ subesquema.

Pregunta. Esperemos que, partiendo de la base que tengo arriba, ¿hay algo más que podamos decir sobre cómo es esta fórmula?

Answer 1

Se trata de una cuestión de investigación muy reciente, resuelta con distintos grados de generalidad en los trabajos que se enumeran a continuación. He aquí un resumen.

El mapa racional $\mathbb{P}^{2[8]}\dashrightarrow \mathbb{P}^2$ del esquema de Hilbert de $8$ puntos en $\mathbb{P}^2$ es el mapa correspondiente a un divisor efectivo extremo en el esquema de Hilbert. Esto sugiere que se debe ejecutar el programa de modelo mínimo para el esquema de Hilbert, estudiando las modificaciones birracionales que surgen en el camino desde el modelo estándar del esquema de Hilbert hasta llegar al modelo donde el mapa a $\mathbb{P}^2$ se convierte en un morfismo. (Nótese que el esquema de Hilbert es un espacio de sueño de Mori, por lo que este objetivo es realmente realista).

A lo largo del camino, encontrará que los modelos que obtiene pueden realizarse como espacios de moduli de ciertos objetos semiestables de Bridgeland. En el caso general de $n$ puntos, el esquema de Hilbert será sustituido por un haz de Grassmann sobre un espacio de moduli de representaciones de un quiver de Kronecker; en su $n=8$ caso puntual esto se simplifica a un $G(2,9)$ -Acabar con el paquete $\mathbb{P}^2$ de la siguiente manera.

Consideremos el espacio formado por los pares $(p,\Lambda)$ donde $p\in\mathbb{P}^2$ es un punto y $$\Lambda\in G(2, H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3) \otimes I_p))$$ es un biplano en el espacio de los cúbicos que pasa por $p$ . Por lo tanto, este espacio es un $G(2,9)$ -Acabar con el paquete $\mathbb{P}^2$ . Es evidentemente biracional al esquema de Hilbert, ya que una $(p,\Lambda)$ determina una longitud $8$ esquema residual a $p$ en la intersección de los cúbicos en $\Lambda$ . Y, el mapa olvidadizo para $\mathbb{P}^2$ es su mapa de Cayley-Bacharach.

Las referencias para cuestiones más generales de este tipo son:

Daniele Arcara, Aaron Bertram, Izzet Coskun y Jack Huizenga , El programa de modelo mínimo para el esquema de Hilbert de puntos en $\Bbb{P}^2$ y la estabilidad de Bridgeland , Adv. Math. 235 (2013), 580--626. (Se ejecuta explícitamente el MMP para $n\leq 9$ puntos, por lo que su pregunta es un caso especial).

Coskun, H., Woolf, "El cono efectivo del espacio de moduli de las láminas en el plano".

H., "Divisores efectivos en el esquema de Hilbert de puntos en el plano e interpolación para haces estables".

También hay una encuesta que puede ayudarte a empezar:

Izzet Coskun y Jack Huizenga , La geometría birracional de los espacios de moduli de las láminas en $\Bbb P^2$ , Actas de la Conferencia de Geometría-Topología de Gökova 2014 (2015), 114--155.