Transformación de conjugación de carga del campo escalar complejo

Question

Esta es una pregunta rápida y sencilla. Estoy estudiando una conjugación de cargas sobre un campo escalar complejo, $\psi\left(x\right)$ ,

$$\psi\left(x\right)\rightarrow C\psi\left(x\right)C^{-1}=\eta_{c}\psi^{\dagger}\left(x\right),$$

donde me dicen que $C$ es un operador unitario y $\eta_{c}$ es una fase de fase. Debo demostrar que la densidad lagrangiana de Klein-Gordon es invariante bajo esta transformación. Para ello necesito derivar cómo $\psi^{\dagger}\left(x\right)$ transformaciones pero estoy confundido sobre lo que $\eta_{c}$ realmente es y cómo actúa por parte de $C$ . ¿Es un escalar o un operador? ¿Puede usted por favor comprobar si esto es correcto: $$C\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}\overset{?}{=}\eta_{c}^{-1}\psi\left(x\right)$$

$$C\eta_{c}\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}\overset{?}{=}\eta_{c}C\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}=\psi\left(x\right)$$ Adiviné la primera expresión para que la segunda me llevara de vuelta a la original $\psi\left(x\right)$ pero realmente no entiendo por qué $\psi^{\dagger}\left(x\right)$ se transformaría así. Si $\eta_{c}$ es un escalar no sería

$$C\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}\overset{?}{=}\eta_{c}^{*}\psi\left(x\right)?$$

Lo sé, esto es bastante básico pero ahora estoy confundido.

Answer 1

Basta con tomar el conjugado hermitiano de la ley de transformación y utilizar la unitariedad de $C$ :

$$\begin{align} C^{-1 \dagger} \psi^\dagger(x) C^\dagger &= \eta_c^* \psi(x) \\ \implies C \psi^\dagger(x) C^{-1} &= \eta_c^* \psi(x)\,.\end{align}$$

Por cierto, esto es lo mismo que la ley de transformación que postuló si $\eta_c$ es un número complejo de módulo unitario - ¡comprueba esto! Teniendo $|\eta_c| = 1$ garantiza que al conjugar dos veces se obtiene el campo original, lo cual es algo sensato para exigir a un operador de conjugación de cargas.