Esta es una pregunta rápida y sencilla. Estoy estudiando una conjugación de cargas sobre un campo escalar complejo, $\psi\left(x\right)$ ,
$$ \psi\left(x\right)\rightarrow C\psi\left(x\right)C^{-1}=\eta_{c}\psi^{\dagger}\left(x\right), $$
donde me dicen que $C$ es un operador unitario y $\eta_{c}$ es una fase de fase. Debo demostrar que la densidad lagrangiana de Klein-Gordon es invariante bajo esta transformación. Para ello necesito derivar cómo $\psi^{\dagger}\left(x\right)$ transformaciones pero estoy confundido sobre lo que $\eta_{c}$ realmente es y cómo actúa por parte de $C$ . ¿Es un escalar o un operador? ¿Puede usted por favor comprobar si esto es correcto: $$ C\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}\overset{?}{=}\eta_{c}^{-1}\psi\left(x\right) $$
$$ C\eta_{c}\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}\overset{?}{=}\eta_{c}C\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}=\psi\left(x\right) $$ Adiviné la primera expresión para que la segunda me llevara de vuelta a la original $\psi\left(x\right)$ pero realmente no entiendo por qué $\psi^{\dagger}\left(x\right)$ se transformaría así. Si $\eta_{c}$ es un escalar no sería
$$ C\psi^{\dagger}\left(x\right)C^{-1}\overset{?}{=}\eta_{c}^{*}\psi\left(x\right)? $$
Lo sé, esto es bastante básico pero ahora estoy confundido.