En $\frac{(-1)^{(n-1)/2}}n\mathrm{per}\left[\tan\pi\frac{j+k}n\right]_{1\le j,k\le n-1}$ con $n\in\{3,5,7,\ldots\}$

Question

Recordemos que la permanente de una matriz $A=[a_{j,k}]_{1\le j,k\le n}$ viene dada por $$\mathrm{per}(A)=\sum_{\tau\in S_n}\prod_{j=1}^na_{j,\tau(j)}.$$

Dejemos que $n$ sea un entero impar mayor que uno. En 2019 estudié $$t(n):=\frac{(-1)^{(n-1)/2}}n\mathrm{per}\left[\tan\pi\frac{j+k}n\right]_{1\le j,k\le n-1}.$$ He demostrado que $t(n)\in\mathbb Q$ y que $$t(p)\in\mathbb Z\ \ \ \text{and}\ \ \ t(p)\equiv-2\pmod p$$ para cada primo impar $p$ .

Pregunta. Si para cualquier entero impar $n>1$ el número $t(n)$ es siempre un número entero positivo congruente con $1$ modulo $4$ ?

Mi cálculo numérico indica que $$t(3)=1,\ t(5)=13,\ t(7)=285,\ t(9)=16569, \ t(11)=1218105,\ t(13)=164741445.$$ Supongo que la pregunta tiene una respuesta positiva.

Sus comentarios son bienvenidos.

Answer 1

Esto es no una respuesta.

Para cualquier número entero de impar $n>1$ , dejemos que

$$f(n)=\frac{2(n!!)^2}{n(n+1)}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\frac{(-1)^k}{2k+1}.$$

Los cálculos numéricos indican que

$$t(n)=f(n)$$

para $3 \leq n \leq 33.$

                  [t(3) = 1, f(3) = 1]

                 [t(5) = 13, f(5) = 13]

                [t(7) = 285, f(7) = 285]

              [t(9) = 16569, f(9) = 16569]

           [t(11) = 1218105, f(11) = 1218105]

         [t(13) = 164741445, f(13) = 164741445]

       [t(15) = 25826325525, f(15) = 25826325525]

     [t(17) = 6310503824625, f(17) = 6310503824625]

  [t(19) = 1715718264685425, f(19) = 1715718264685425]

[t(21) = 661307821613200125, f(21) = 661307821613200125]

           [t(23) = 277040409578593786125,

            f(23) = 277040409578593786125]

          [t(25) = 154737143033349764435625, 

            f(25) = 154737143033349764435625]

         [t(27) = 92522564948525932110515625, 

           f(27) = 92522564948525932110515625]

        [t(29) = 70653112977123214268408803125, 

          f(29) = 70653112977123214268408803125]

      [t(31) = 57152351281142850164344240453125, 

        f(31) = 57152351281142850164344240453125]

     [t(33) = 57193813473884499796503057704390625, 

       f(33) = 57193813473884499796503057704390625]

Conj. Para cualquier número entero de impar $n>1$ , $t(n)=f(n)$ .