Zócalos y factores

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra de dimensión finita sobre un campo $K$ y que $M$ , $M'$ y $N$ sea $A$ -módulos. Supongamos que $M'\subseteq M$ y asumir que $N$ tiene zócalo simple .

Dejemos que $f: M \longrightarrow N$ ser un epimorfismo y que $\iota:M' \longrightarrow M$ sea el mapa de inclusión y suponer que $f \circ \iota :M' \longrightarrow N$ es sigue siendo un epimorfismo .

Pregunta:

Si el zócalo simple de $N$ es un sumando del zócalo de $M$ será también un sumando del zócalo de $M'$ ?

Para ser precisos: si la restricción del mapa $f$ a $\operatorname{Soc}(M)$ , $$f_|:\operatorname{Soc}(M) \longrightarrow \operatorname{Soc}(N),$$ es un epimorfismo (una epopeya dividida), la restricción de $f \circ \iota$ a $\operatorname{Soc}(M')$ , $$(f \circ \iota)_|:\operatorname{Soc}(M') \longrightarrow \operatorname{Soc}(N),$$ ¿ser una epopeya dividida también?

• Intuitivamente siento que la respuesta tiene que ser afirmativa, pero no he podido demostrarlo, ni encontrar un contraejemplo. ¿Alguien sabe si esto es cierto? Cualquier ayuda será inmensamente apreciada.

Answer 1

No. Por ejemplo, supongamos que $N=S$ es simple, por lo que $\operatorname{soc}N=S$ , $M'$ es una extensión no dividida de $S$ por otro módulo simple $T$ para que $\operatorname{soc}M'=T$ y existe un epimorfismo $\alpha:M'\to N$ que es cero en $\operatorname{soc}M'$ y que $M=M'\oplus S$ .

Entonces el mapa $\begin{pmatrix}\alpha&\operatorname{id}_S\end{pmatrix}:M'\oplus S\to S$ induce un epimorfismo de división $\operatorname{soc}M=T\oplus S\to\operatorname{soc}N=S$ .