Conjunto de potencia de $\{\varnothing, \{ \varnothing\}\}$

Question

El conjunto de potencia de $\{\varnothing, \{ \varnothing\}\}$ se define como sigue: $$\{\varnothing, \{ \varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}$$

Por qué tenemos el tercer elemento en la respuesta $\{\{\varnothing\}\}$ ?

Answer 1

Si tenemos un conjunto con dos elementos $X=\{a,b\}$ , entonces el conjunto de potencias de $X$ es: $\{∅, \{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ , sólo tienes que introducir tus elementos como $a$ y $b$ .

Creo que el hecho de que los elementos del conjunto sean el conjunto vacío o el conjunto que contiene al conjunto vacío es lo que te está confundiendo.

Para una práctica más general, considere $ Y = \emptyset $ entonces $\mathcal{P}(Y) = \{ \emptyset\}$

Además, dejemos que $Z = \{ \emptyset \}$ entonces $\mathcal{P}(Z) = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}\}$

Answer 2

El conjunto de potencia es el conjunto de todos los subconjuntos. Cada elemento es un subconjunto del conjunto inicial.

El conjunto inicial es $\{\color{red}\emptyset, \color{blue}{\{\emptyset\}}\}$

Es un conjunto con dos elementos $\color{red}\emptyset$ y $\color{blue}{\{\emptyset\}}$

¿Cuáles son los subconjuntos de un conjunto con dos elementos? Hay $2^2 =4$ tales conjuntos porque cada elemento puede estar en un conjunto o no. Así que los cuatro subconjuntos son:

1. El conjunto con ninguno de los dos $\color{red}\emptyset$ ni $\color{blue}{\{\emptyset\}}$ .
   Ese es el conjunto: $\emptyset$
2. El conjunto que tiene $\color{red}\emptyset$ pero no $\color{blue}{\{\emptyset\}}$ .
   Ese es el conjunto: $\{\color{red}\emptyset\}$ .
3. El conjunto que no tiene $\color{red}\emptyset$ pero tiene $\color{blue}{\{\emptyset\}}$
   Ese es el conjunto: $\{\color{blue}{\{\emptyset\}}\}$
4. El conjunto que tiene ambos $\color{red}\emptyset$ y $\color{blue}{\{\emptyset\}}$ .
   Este es el conjunto $\{\color{red}\emptyset,\color{blue}{\{\emptyset\}}\}$