Sé que esta pregunta se ha presentado varias veces (especialmente ver ¿Cómo son posibles los anyones? ), incluso como subproducto de otras preguntas, ya que no encontré ninguna respuesta completamente satisfactoria, aquí presento otra versión de la pregunta, enunciada de forma muy precisa utilizando únicamente supuestos generales muy elementales de la física cuántica . En particular, no utilizaré ningún operador (indicado por $P$ en otras versiones) que representa el intercambio de partículas.
Supongamos que se trata de un sistema de un par de partículas idénticas, cada una de las cuales se mueve en $R^2$ . Ignorando por el momento el hecho de que las partículas son indistinguibles, partimos del espacio de Hilbert $L^2(R^2)\otimes L^2(R^2)$ que es isomorfo a $L^2(R^2\times R^2)$ . Ahora divido el resto de mi asunto en varios pasos elementales.
(1) Cada elemento $\psi \in L^2(R^2\times R^2)$ con $||\psi||=1$ define un estado del sistema, donde $|| \cdot||$ es el $L^2$ norma.
(2) Cada elemento de la clase $\{e^{i\alpha}\psi\:|\; \psi\}$ para $\psi \in L^2(R^2\times R^2)$ con $||\psi||=1$ define el mismo estado, y un estado es tal conjunto de vectores.
(3) Cada $\psi$ como arriba puede verse como una función de valor complejo definida, hasta conjuntos de medidas cero (Lebesgue), en $R^2\times R^2$ .
(4) Consideremos ahora el "estado intercambiado" definido (debido a (1)) por $\psi' \in L^2(R^2\times R^2)$ por la función (hasta un conjunto de medidas cero):
$$\psi'(x,y) := \psi(y,x)\:,\quad (x,y) \in R^2\times R^2$$
(5) El significado físico del estado representado por $\psi'$ es la de un estado obtenido de la forma $\psi$ con el papel de las dos partículas intercambiadas.
(6) Como las partículas son idénticas, el estado representado por $\psi'$ debe ser el mismo que el representado por $\psi$ .
(7) A la vista de (1) y (2) debe serlo: $$\psi' = e^{i a} \psi\quad \mbox{for some constant $ a\Nen R $.}$$
Aquí la física se detiene. A partir de ahora sólo utilizaré las matemáticas.
(8) En vista de (3) se puede reescribir la identidad anterior de forma equivalente como
$$\psi(y,x) = e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $ (x,y)\Nen R^2\Nveces R^2 $}\quad [1]\:.$$
(9) Desde $(x,y)$ en [1] es cada par de puntos hasta un conjunto de medida cero, se me permite cambiar sus nombres obteniendo
$$\psi(x,y) = e^{ia}\psi(y,x) \quad \mbox{almost everywhere for $ (x,y)\Nen R^2\Nveces R^2 $}\quad [2]$$
(Obsérvese que el conjunto de medida cero donde falla la identidad sigue siendo un conjunto de medida cero bajo la reflexión $(x,y) \mapsto (y,x)$ ya que es una isometría de $R^4$ y la medida de Lebesgues es invariante bajo isometrías).
(10) Dado que, de nuevo, [2] se cumple en casi todas partes para cada par $(x,y)$ , se me permite utilizar de nuevo [1] en el lado derecho de la obtención de [2]:
$$\psi(x,y) = e^{ia}e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $ (x,y)\Nen R^2\Nveces R^2 $}\:.$$
(Esto es ciertamente cierto fuera de la unión del conjunto de medidas cero $A$ donde falla [1] y la obtenida por reflexión $(x,y) \mapsto (y,x)$ de $A$ sí mismo).
(11) Conclusión:
$$[e^{2ia} -1] \psi(x,y)=0 \qquad\mbox{almost everywhere for $ (x,y)\Nen R^2\Nveces R^2 $}\quad [3]$$
Desde $||\psi|| \neq 0$ , $\psi$ no puede desaparecer en todas partes en $R^2\times R^2$ . Si $\psi(x_0,y_0) \neq 0$ , $[e^{2ia} -1] \psi(x_0,y_0)=0$ implica $e^{2ia} =1 $ y así:
$$e^{ia} = \pm 1\:.$$
Y así, aparentemente, los anyones no están permitidos.
¿Dónde está el error?
OBSERVACIÓN AÑADIDA. (10) es un resultado completamente matemático. He aquí otra forma de obtenerlo. (8) puede escribirse como $\psi(a,b) = e^{ic} \psi(b,a)$ para algunos fijo $c \in R$ y todo $(a,b) \in R^2 \times R^2$ (No tengo en cuenta el tema de los conjuntos insignificantes). Elección de la primera $(a,b)=(x,y)$ y luego $(a,b)=(y,x)$ obtenemos resp. $\psi(x,y) = e^{ic} \psi(y,x)$ y $\psi(y,x) = e^{ic} \psi(x,y)$ . Inmediatamente producen [3] $\psi(x,y) = e^{i2c} \psi(x,y)$ .
Así que el físico El argumento (4)-(7) de que hemos permutado de nuevo las partículas y, por tanto, puede aparecer otra fase nueva, no se aplica aquí.
2ª OBSERVACIÓN AÑADIDA. Está claro que en cuanto se permite escribir
$\psi(x,y) = \lambda \psi(y,x)$ para un constante $\lambda\in U(1)$ y todo $(x,y) \in R^2\times R^2$
el juego ha terminado: $\lambda$ resulta ser $\pm 1$ y los anyones están prohibidos. Sin embargo, esto es sólo matemática. Mi suposición para una salida es que el verdadero espacio de configuración no es $R^2\times R^2$ sino algún otro espacio cuyo $R^2 \times R^2$ es la cobertura universal.
Una idea (bastante aproximada) podría ser la siguiente. Hay que suponer que las partículas son indistinguibles desde cero ya definiendo el espacio de configuración, es decir algo así como $Q := R^2\times R^2/\sim$ donde $(x',y')\sim (x,y)$ si $x'=y$ y $y'=x$ . O quizás restando el conjunto $\{(z,z)\:|\: z \in R^2\}$ a $R^2\times R^2$ antes de tomar el cociente para decir que las partículas no pueden permanecer en el mismo lugar. Supongamos el primer caso para simplificar. Existe un mapa de cobertura (¿doble?) $\pi : R^2 \times R^2 \to Q$ . Mi opinión es la siguiente. Si uno define las funciones de onda $\Psi$ en $R^2 \times R^2$ define automáticamente las funciones de onda multivaluadas en $Q$ . Es decir $\psi:= \Psi \circ \pi^{-1}$ . El problema de muchos valores físicamente no importa si la diferencia de los dos valores (suponiendo que el recubrimiento sea doble) es sólo una fase y esto podría escribirse, en vista de la identificación $\sim$ utilizado para construir $Q$ de $R^2 \times R^2$ : $$\psi(x,y)= e^{ia}\psi(y,x)\:.$$ Obsérvese que la identidad no puede interpretarse literalmente porque $(x,y)$ y $(y,x)$ son el mismo punto en $Q$ Así que mi truco para probar $e^{ia}=\pm 1$ no puede aplicarse. La situación es similar a la de $QM$ en $S^1$ induciendo funciones de onda multivaluadas forman su cobertura universal $R$ . En ese caso se escribe $\psi(\theta)= e^{ia}\psi(\theta + 2\pi)$ .
3ª OBSERVACIÓN AÑADIDA Creo que he resuelto el problema que he posteado centrándome en el modelo de un par de anyones discutido en la p.225 de este documento matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/bcp/bcp42/bcp42116.pdf sugerido por Trimok. El modelo es simplemente este: $$\psi(x,y):= e^{i\alpha \theta(x,y)} \varphi(x,y)$$
donde $\alpha \in R$ es una constante, $\varphi(x,y)= \varphi(y,x)$ , $(x,y) \in R^2 \times R^2$ y $\theta(x,y)$ es el ángulo con respecto a algún eje fijo del segmento $xy$ . Se puede pasar a coordenadas $(X,r)$ , donde $X$ describe el centro de masa y $r:= y-x$ . Intercambiar las partículas significa $r\to -r$ . Sin prestar atención a los detalles matemáticos, uno ve que, de hecho: $$\psi(X,-r)= e^{i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A)$$ para una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj. (Para las rotaciones en el sentido de las agujas del reloj un signo $-$ aparece en la fase, describiendo el otro elemento del grupo de la trenza $Z_2$ . Obsérvese también que, para $\alpha \pi \neq 0, 2\pi$ la función desaparece para $r=0$ , a saber $x=y$ y esto corresponde al hecho de que eliminamos el conjunto $C$ de puntos de coincidencia $x=y$ del espacio de las configuraciones).
Sin embargo, un examen más detallado muestra que la situación es más complicada: El ángulo $\theta(r)$ no está bien definida sin fijar un eje de referencia donde $\theta =0$ . Después se puede asumir, por ejemplo, $\theta \in (0,2\pi)$ , De lo contrario, $\psi$ debe considerarse multivalente . Con la elección $\theta(r) \in (0,2\pi)$ (A) no se cumple en todas partes. Consideremos una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de $r$ . Si $\theta(r) \in (0,\pi)$ entonces (A) se cumple en la forma $$\psi(X,-r)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A1)$$ pero para $\theta(r) \in (\pi, 2\pi)$ y siempre para una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj se encuentra $$\psi(X,-r)= e^{-i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{- i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A2)\:.$$ Los resultados son diferentes con las distintas convenciones. En cualquier caso es evidente que la fase debida al proceso de intercambio es en función de $(x,y)$ (aunque sea localmente constante) y no una constante. Esto invalida mi "prueba de no ir", pero también demuestra que la noción de estadística de anyones es profundamente diferente de la estándar basada en los grupos de permutaciones, donde las fases debidas al intercambio de partículas es constante en $(x,y)$ . Como consecuencia, el el estado intercambiado es diferente del inicial de forma diferente a lo que ocurre con los bosones o los fermiones y contra la idea de que los anyones son partículas indistintas. [Obsérvese también que, en el modelo considerado, el intercambio de par inicial de bosones significa $\varphi(x,y) \to \varphi(y,x)= \varphi(x,y)$ es decir $\psi(x,y)\to \psi(x,y)$ . Es decir, intercambiar anyones no significa intercambiar los bosones asociados Y es correcto, ya que se trata de otra operación física sobre diferentes sujetos físicos].
Alternativamente se puede pensar en la función de onda del anyón $\psi(x,y)$ como multivalores uno, de nuevo de forma diferente a lo que supuse en mi "prueba de no ir" y de forma diferente a las suposiciones estándar en QM. Esto produce una fase verdaderamente constante en (A). Sin embargo, no me queda claro si, con esta interpretación, el estado intercambiado de los anyones es el mismo que el inicial, ya que nunca consideré seriamente cosas como (si es que hay) espacios de Hilbert de funciones multivaluadas y no entiendo qué pasa con la representación de los estados en forma de rayos. Sin embargo, esta imagen es físicamente conveniente, ya que conduce a una interpretación defendible de (A) y la acción del grupo de trenzas resulta ser explícita y natural.
En realidad, aparece una última posibilidad. Se podría tratar de funciones de onda (de valor complejo estándar) definidas en $(R^2 \times R^2 - C)/\sim$ como sabemos (véase más arriba, $C$ es el conjunto de pares $(x,y)$ con $x=y$ ) y definimos la operación de intercambio sólo en términos de fases (para que no se pueda aplicar mi "prueba de no ir" y las transformaciones no cambien los estados):
$$\psi([(x,y)]) \to e^{g i\alpha \pi}\psi([(x,y)])$$
donde $g \in Z_2$ . Esto se puede extender a muchas partículas pasando al grupo de trenzas de muchas partículas. Tal vez sea conveniente matemáticamente pero no es muy expresivo físicamente.
En el modelo que se discute en el artículo que mencioné, es sin embargo evidente que, hasta una transformación unitaria, el espacio de Hilbert de la teoría no es más que un espacio de Hilbert bosónico estándar, ya que las funciones de onda consideradas se obtienen a partir de las de ese espacio mediante un mapa unitario asociado a una transformación gauge singular, y justo esa singularidad da lugar a toda la estructura interesante. Sin embargo, en el sistema bosónico inicial la singularidad era preexistente: el campo magnético era una suma de deltas de Dirac. No sé si tiene sentido pensar en los anyones independientemente de su dinámica. Y no sé si este resultado es general. Supongo que trasladar la singularidad de la estadística a la interacción y viceversa es justo lo que ocurre en la formulación de la integral de la trayectoria al trasladar la fase externa a la acción interna, véase la respuesta de Tengen.
