El teorema chino del resto y las redes distributivas

Question

En Las múltiples vidas de la teoría de los entramados Gian-Carlo Rota dice lo siguiente.

Condiciones necesarias y suficientes para una conmutación que aseguran la validez de un anillo del teorema del resto chino. Sin embargo, existe una condición necesaria y suficiente que que sitúa el teorema en la perspectiva adecuada. Se trata de que que el teorema del resto chino se cumple en un anillo conmutativo si y sólo si la red de ideales del anillo es distributiva.

El ensayo se puede encontrar aquí y la cita procede de la tercera página del expediente.

Conozco la siguiente versión del teorema del resto chino para anillos (no necesariamente conmutativos).

Supongamos que $R$ es un anillo y $A,A_1, \ldots,A_k$ son ideales de $R.$ Si

$(1)$ $A_1 \cap \ldots \cap A_k = A,$ y

$(2)$ $A_i + A_j = R$ para todos $1 \leq i < j \leq k,$

entonces $R/A \cong R/A_1\times\ldots\times R/A_k$ mediante un isomorfismo que es a la vez un isomorfismo de anillo y un $R$ -módulo isomorfismo.

Esta versión del teorema proviene de estas notas de clase .

Está claro que hay algunas condiciones teóricas sobre los ideales aquí, pero no entiendo qué quiere decir G.C. Rota con "el teorema del resto chino". No puede referirse a esta versión, porque es válida para cualquier anillo. ¿Podría decirme el texto exacto del teorema que menciona? Además, ¿puedo encontrar su demostración en algún sitio? Y si es posible, ¿podría explicarme por qué (o si) la conmutatividad es importante en el teorema que menciona?

Answer 1

Esto surgió antes en MO, y el sentimiento fue que Rota se refiere a la Teorema del Resto de China por Elementos . Esto se mantiene en un anillo $R$ si para cualquier ideal $I_1,\ldots,I_n$ de $R$ y elementos $x_1,\ldots,x_n \in R$ , los siguientes son equivalentes:

(i) $x_i - x_j \in I_i + I_j$ .
(ii) Hay $x \in R$ con $x \equiv x_i \pmod{I_i}$ para todos $i$ .

Está claro que (ii) $\implies$ (i) en cualquier anillo. Resulta que los dominios en los que (i) $\implies$ (ii) son precisamente los dominios de Prüfer. Puede leer un poco sobre los dominios de Prüfer en $\S 21$ de mis apuntes de álgebra conmutativa pero no tanto como me gustaría: este es el punto en el que las notas comienzan a desviarse. En particular, el resultado anterior aparece en las notas, pero la prueba no. (Creo que aparece en el libro de Larsen y McCarthy Teoría de los ideales multiplicativos por ejemplo).

Añadido mucho más tarde : La prueba sí aparece allí ahora.

Answer 2

He hablado de esto con Rota, así que puedo asegurar que se refiere a los dominios de Prüfer. Son generalizaciones noetherianas de los dominios Dedekind. Su ubicuidad se debe a una notable confluencia de caracterizaciones interesantes. Por ejemplo, son aquellos dominios que satisfacen el Teorema del Resto Chino para ideales, o el Lemma de Gauss para ideales de contenido polinómico, o para ideales: $\rm\ A\cap (B + C) = A\cap B + A\cap C\:,\ $ o $\rm\ (A + B)\ (A \cap B) = A\ B\:,\ $ o $\rm\ A\supset B\ \Rightarrow\ A\:|\:B\ $ para fin. gen. $\rm\:A\:$ etc. Se ha estimado que se conocen cerca de 100 caracterizaciones de este tipo, por ejemplo, véase mi 2008/11/19 post de sci.math para 30 caracterizaciones de impar. A continuación, un extracto:

TEOREMA $\ \ $ Dejemos que $\rm\:D\:$ sea un dominio. Los siguientes son equivalentes:

(1) $\rm\:D\:$ es un dominio de Prüfer, es decir, todo ideal f.g. (finitamente generado) no nulo es invertible.
(2) Todo ideal no nulo de dos generaciones de $\rm\:D\:$ es invertible.
(3) $\rm\:D_P\:$ es un dominio de Prüfer para cada ideal primo $\rm\:P\:$ de $\rm\:D.\:$
(4) $\rm\:D_P\:$ es un dominio de valoración para cada ideal primo $\rm\:P\:$ de $\rm\:D.\:$
(5) $\rm\:D_P\:$ es un dominio de valoración para cada ideal maximal $\rm\:P\:$ de $\rm\:D.\:$
(6) Todo ideal f.g. no nulo $\rm\:I\:$ de $\rm\:D\:$ es cancelable, es decir $\rm\:I\:J = I\:K\ \Rightarrow\ J = K\:$
(7) $\:$ (6) restringido a f.g. $\rm\:J,K.$
(8) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y existe un $\rm\:n > 1\:$ tal que para todo $\rm\: a,b \in D,\ (a,b)^n = (a^n,b^n).$
(9) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y existe un $\rm\: n > 1\:$ tal que para todo $\rm\:a,b \in D,\ a^{n-1} b \ \in\ (a^n, b^n).$
(10) Ideales $\rm\:I\:$ de $\rm\:D\:$ están completos: $\rm\:I = \cap\ I\: V_j\:$ como $\rm\:V_j\:$ recorre todos los anillos de valoración de $\rm\:D.\:$
(11) Cada ideal f.g. de $\rm\:D\:$ es una intersección de ideales de valoración.
(12) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ entonces $\rm\:I \cap (J + K) = I\cap J + I\cap K.$
(13) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ entonces $\rm\:I\ (J \cap K) = I\:J\cap I\:K.$
(14) Si $\rm\:I,J\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ entonces $\rm\:(I + J)\ (I \cap J) = I\:J.\ $ ( $\rm LCM\times GCD$ ley)
(15) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ con $\rm\:K\:$ f.g. entonces $\rm\:(I + J):K = I:K + J:K.$
(16) Para dos elementos cualesquiera $\rm\:a,b \in D,\ (a:b) + (b:a) = D.$
(17) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D\:$ con $\rm\:I,J\:$ f.g. entonces $\rm\:K:(I \cap J) = K:I + K:J.$
(18) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y cada anillo de $\rm\:D\:$ es la intersección de las localizaciones de $\rm\:D.\:$
(19) $\rm\:D\:$ es íntegramente cerrado y cada sobreanillo de $\rm\:D\:$ es la intersección de los anillos cocientes de $\rm\:D.\:$
(20) Cada sobreanillo de $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado.
(21) Cada sobreanillo de $\rm\:D\:$ es plana sobre $\rm\:D.\:$
(22) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y los ideales primos de los anillos de son extensiones de los ideales primos de $\rm\:D.$
(23) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y para cada ideal primo $\rm\:P\:$ de $\rm\:D,\:$ y cada anillo superior $\rm\:S\:$ de $\rm\:D,\:$ hay a lo sumo un ideal primo de $\rm\:S\:$ que se encuentra encima de $\rm\:P.\:$
(24) Para los polinomios $\rm\:f,g \in D[x],\ c(fg) = c(f)\: c(g)\:$ donde para un polinomio $\rm\:h \in D[x],\ c(h)\:$ denota el ideal de "contenido" de $\rm\:D\:$ generado por los coeficientes de $\rm\:h.\:$ (Lemma de Gauss)
(25) Los ideales en $\rm\:D\:$ son integralmente cerrados.
(26) Si $\rm\:I,J\:$ son ideales con $\rm\:I\:$ f.g. entonces $\rm\: I\supset J\ \Rightarrow\ I|J.$ (contiene $\:\Rightarrow\:$ divide)
(27) el Teorema del Resto Chino $\rm(CRT)$ es cierto en $\rm\:D\:,\:$ es decir, un sistema de congruencias $\rm\:x\equiv x_j\ (mod\ I_j)\:$ es solucionable si $\rm\:x_j\equiv x_k\ (mod\ I_j + I_k).$

Answer 3

De hecho, la conmutatividad no es necesaria en absoluto para esta equivalencia completamente elemental. La prueba está más abajo.

(ECRT) $\Rightarrow$ (Prüfer). Supongamos que $R$ satisface la ECRT, sea $I,J,K$ sean tres ideales de $R$ . La inclusión $(I\cap J)+(I\cap K) \subseteq I\cap (J+K)$ es evidente. A la inversa, dejemos que $i\in I \cap (J+K)$ . Entonces, hay un $j\in J$ y un $k\in K$ con $i=j+k$ . Por la ECRT, hay una $x\in R$ tal que $x\equiv 0 \ ({\sf mod } I)$ , $x\equiv j \ ({\sf mod } J)$ y $x\equiv i \ ({\sf mod } K)$ . Si establecemos $y=i-x$ tenemos $x\in I \cap J, y\in I \cap K$ así que $i\in (I\cap J)+(I\cap K)$ . Finalmente $(I\cap J)+(I\cap K) = I\cap (J+K)$ y $R$ es un anillo de Prüfer.

(Prüfer) $\Rightarrow$ (ECRT). Sea $R$ sea un anillo de Prüfer. Bastará con mostrar la ECRT para tres ideales en lugar de $n$ . Así que dejemos $I_1,I_2,I_3$ sean tres ideales de $R$ y $x_1,x_2,x_3$ en $R$ tal que $x_j-x_i \in I_i+I_j$ para cualquier $i<j$ . Entonces tenemos $a_i,b_i \in I_i (1 \leq i \leq 3)$ tal que

$$x_2-x_1=a_1+a_2, \ \ x_3-x_1=b_1+a_3, \ \ x_3-x_2=b_2+b_3$$

Entonces tenemos

$$b_3-a_3=(b_1-a_1)-(b_2-a_2)$$

Así que el elemento $b_3-a_3$ está en $I_3 \cap (I_1+i_2)$ . Desde $R$ es Prüfer, deducimos que hay constantes $c_{13}\in I_1\cap I_3, c_{23}\in I_2\cap I_3$ tal que $b_3-a_3=c_{13}+c_{23}$ . Entonces

$$b_2+a_2+c_{23}=b_1-a_1-c_{13}$$

y el RHS de arriba está en $I_1$ mientras que el LHS está en $I_2$ . Así que hemos encontrado un elemento $c_{12}$ de $I_1 \cap I_2$ . Ahora afirmo que $x=x_1+a_1+c_{12}$ satisface las congruencias que queremos; de hecho, para cada $k \in \lbrace 1,2,3 \rbrace$ tenemos

$$x-x_k=a_k+c_{1k} \in I_k$$

qed.