Secuencia en $C[0,1]$ sin subsecuencia convergente

Question

Estoy tratando de mostrar que $C[0,1],$ el espacio de todas las funciones continuas de valor real con la métrica sup no es secuencialmente compacto con la métrica sup demostrando que la secuencia $f_n = x^n$ no tiene subsecuencia convergente. La métrica sup $\|\cdot\|$ se define como

$$\|f - g \| = \sup_{x \in [0,1]} |f(x) - g(x)|$$

donde $|\cdot|$ es la métrica euclidiana ordinaria. Ahora sé que $f_n \rightarrow f$ en un punto, donde

$$f = \begin{cases} 0, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x = 1.\end{cases}$$

Sin embargo, $f \notin C[0,1]$ por lo que esto significa por el teorema 7.12 de Baby Rudin que $f_n$ no puede converger a $f$ de manera uniforme. Sin embargo, ¿cómo me dice esto que ninguna subsecuencia de $f_n$ pueden converger en algo en $C[0,1]$ ?

Gracias.

Answer 1

Desde $f_n$ converge a $f$ en sentido estricto, todas las subsecuencias $f_{n_k}$ también convergen puntualmente a $f$ . Así que $f_{n_k}$ no puede converger uniformemente a la continua $g$ porque la convergencia uniforme implica también la convergencia puntual, y $f$ no es continua.

Answer 2

Esto es (más o menos) una modificación de la sugerencia de t.b comentario .

Basta con demostrar que cualquier sucesión de $(f_n)$ no es Cauchy. (Ya que toda secuencia convergente es una secuencia Cauchy).

Para ello, observe que $$\lVert f_{2n}-f_n \rVert = \sup_{x\in[0,1]} (x^n - x^{2n}) = \sup_{x\in[0,1]} (x^n - (x^{n})^2) = \sup_{t\in[0,1]} (t-t^2)=\frac14.$$ (Es fácil encontrar el máximo de la función cuadrática $f(t)=t-t^2=t(1-t)$ .)

Además, si utilizamos la monotonicidad de la secuencia $(f_n)$ vemos que $$k\ge 2n \qquad \Rightarrow \qquad \lVert f_{k}-f_n \rVert \ge \frac14.$$

Ahora, si tenemos cualquier subsecuencia de $(f_n)$ entonces la estimación anterior muestra que esta subsecuencia no es Cauchy. Para cualquier $k_0$ podemos encontrar $k'>k_0$ tal que $n_{k'}>2n_{k_0}$ y $\lVert f_{n_{k'}}-f_{n_{k_0}} \rVert \ge \frac 14$ .

Answer 3

En cuanto a la motivación de tu pregunta (compacidad secuencial):

En primer lugar, comentando tu pregunta concreta: un espacio vectorial topológico sobre los números reales o complejos nunca es secuencialmente compacto. Sólo los subconjuntos cerrados acotados son posiblemente (secuencialmente) compactos. Por lo tanto, tu intento de demostración sólo es pertinente si te limitas a las secuencias acotadas (lo cual se aplica a tu ejemplo, pero debería ser una suposición explícita).

Como observación general: se sabe que la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes en los espacios métricos, por lo tanto en subconjuntos de espacios vectoriales normados (como $C^0$ ).

También se sabe (aunque es un poco más complicado a la hora de demostrarlo) que un espacio vectorial normado (real o complejo) tiene la llamada propiedad "Heine Borel" (que dice que un subconjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado) si y sólo si es de dimensión finita.

Edición: la siguiente frase no es obviamente correcta (ver el comentario de t.b. -- gracias por señalarlo), pero es una bonita ilustración de una conclusión prematura y sin cautela, así que no la borro ;-): Desde $C^0$ no es de dimensión finita, se deduce que los conjuntos cerrados acotados de $C^0$ son (secuencialmente) compactos sólo si están contenidos en un subespacio de dimensión finita.

Sin embargo, sigue siendo cierto lo siguiente: los conjuntos como la bola unitaria cerrada (y, por tanto, cualquier conjunto que contenga una bola abierta) no son (secuencialmente) compactos en $C^0$ y, en general, las secuencias acotadas no necesitan tener una subsecuencia convergente, y esto se aplica a todo espacio vectorial normado de dimensión infinita.

Answer 4

Después de toda esta discusión, esto es lo que yo entiendo que concluye el problema: Ya sabemos que $f_n \rightarrow f$ en un punto, donde $f$ es la función discontinua que definí en $C[0,1]$ . Ahora sube a un espacio métrico mayor como $B[0,1]$ que contiene $C[0,1]$ y equiparlo con la métrica sup. Ahí sabemos que $f_n \rightarrow f$ en el sentido de los puntos. Esto significa que para cada $x \in [0,1]$ la secuencia ordinaria de números reales $f_n(x) \rightarrow f(x)$ y como $\Bbb{R}$ con la topología euclidiana es Hausdorff se deduce que el límite puntual de $f(x)$ es único. Por ejemplo, no hay ninguna otra función en $B[0,1]$ que converge a $f$ en el sentido de la palabra.

Ahora afirmo que no hay ninguna función $g \in C[0,1]$ para lo cual $f_n$ converge a la uniformidad. Si lo hubiera, entonces $f_n \rightarrow g$ en punto a $C[0,1]$ . Además, una función continua de valor real sobre un conjunto compacto está acotada y por tanto $g$ vive en $B[0,1]$ . Por lo que he dicho de que los límites son únicos, esto significa que $g = f$ . Sin embargo, esto es una contradicción porque $f \notin C[0,1]$ .

Se deduce que no hay ninguna función continua en $[0,1]$ que $f_n$ converge a. Q.E.D.