Resolver $n$ determinante de orden

Question

Tengo un determinante de orden n que no soy capaz de convertir en una forma triangular. Creo que este determinante es bastante fácil, pero no encuentro la forma de convertir completamente una de las esquinas en ceros. Mi otra idea era utilizar el principio de Laplace, pero no ha funcionado tan bien. $$ \begin{vmatrix} 4 & 4 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 4 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 4 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 4 \\ \end{vmatrix} $$

Si alguien pudiera presentar una forma detallada de convertir este determinante en una forma triangular, sería muy apreciado. Además de eso, tal vez alguien podría dar algunos consejos para resolver el determinante de enésimo orden convirtiéndolo en una forma triangular, utilizando el principio de Laplace o cualquier otro método más o menos básico.

Answer 1

Si se utiliza la fórmula de Laplace para la primera columna, como sugiere mfl, se llega a la relación de recurrencia $D_n=4(D_{n-1}-D_{n-2})$ con $D_1=4$ y $D_2=12$ .

La solución es $D_n=(n+1)2^n$ .

Answer 2

Alternativa: hacer operaciones de fila para obtener una matriz diagonal: $$ R1\cdot (-\frac14)+R2\to R2; \ R2\cdot (-\frac13)+R3\to R3; \ etc$$ $$\begin{vmatrix} 4 & 4 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 4 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 4 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 4 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 4 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{4} & 4 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{32}{12} & 4 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{n\cdot 2^{n-1}}{(n-1)\cdot 2^{n-2}} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{(n+1)\cdot 2^n}{n\cdot 2^{n-1}} \\ \end{vmatrix}= \\ \prod_{k=1}^n \frac{(k+1)\cdot 2^k}{k\cdot 2^{k-1}}=(n+1)\cdot 2^n.$$