Cómo calcular la estimación de la máxima probabilidad a posteriori (MAP) con / sin previa

Question

Soy un novato en esta área, así que espero que alguien pueda explicarme el siguiente problema en un lenguaje sencillo.

Supongamos que quiero utilizar el MAP para estimar algunos parámetros sobre la base de algunas observaciones. Sé que el método de cálculo de MAP es: $$ \theta(x) = {\rm argmax} \ f(X|\theta) g(\theta) $$

donde $g$ es la prioridad. Sin embargo, no puedo encontrar ninguna respuesta en línea sobre cómo calcular esto utilizando un ejemplo del mundo real. Así que esta es la pregunta que propongo:

Supongamos que se ha preguntado a 100 personas a quién van a votar en unas elecciones (de entre 2 candidatos A y B), y supongamos que el resultado final es que el 60% de ellos dice que votará a A. ¿Cómo se estima el resultado de unas elecciones utilizando el MAP si:

1. se sabe que el candidato A tiene una popularidad del 40% y el candidato B del 60% (se supone que ésta es la distribución a priori)
2. la popularidad es desconocida.

También miré esta respuesta pero sigo confundido: Ejemplo de estimación máxima a posteriori

Answer 1

Como se ha mencionado en un comentario, la estimación MAP es la estimación de máxima probabilidad cuando se omite $g(\theta)$ o si es una constante. Si $g(\theta)$ no es una constante, entonces hay, por supuesto, varios métodos para encontrar la estimación MAP. Omitiendo el aspecto del muestreo de la encuesta (o asumiendo que tenemos una muestra completamente representativa de una población de tamaño infinito o asumiendo que has incluido el mecanismo de muestreo en tu probabilidad):

1. Analíticamente (a menudo tomando los registros y encontrando el máximo).
2. En algunos casos se dispone de priores conjugados tienen modos conocidos para no tener que hacer el cálculo analítico usted mismo. Por ejemplo, en el ejemplo que das podríamos utilizar una prioridad Beta. No ha especificado No ha especificado el grado de certeza de su prioridad, pero digamos que en una encuesta anterior, usted tenía 20 de 50 para "A" y 30 de 50 para "B" (y que no hay otras opciones para votar). Si le parece bien utilizar un previo Beta(20,30), entonces su posterior es una distribución Beta(20+60, 30+40). Entonces se sabe que la moda es (80-1)/(150-2)=0,53 Esto no sería correcto para una muestra no representativa o de una población no infinita población no infinita y esta opción sólo existe para algunas distribuciones. Además, el hecho de que una priorización conjugada esté disponible y sea conveniente no significa que sea lo que usted quiera utilizar (por ejemplo, puede haber querido expresar alguna duda sobre la aplicabilidad de la encuesta anterior a su nueva encuesta utilizando una mezcla de una priorización Beta(0,5,0,5) y una priorización Beta(20,30) con pesos de 0,2 y 0,8 para expresar esta incertidumbre. Entonces puede seguir haciendo la actualización conjugada, pero obtener los pesos posteriores actualizados es un poco más difícil.
3. Utilizando alguna rutina de minimización numérica.

En una situación simplista en la que las encuestas muestren exactamente cómo votará realmente la gente (no ocurre nada más antes de las elecciones para hacer cambiar de opinión a la gente, no hay problemas con la participación de los votantes que difieren según los partidos, etc.), se podría entonces, para un tamaño total conocido del número de votantes, predecir el resultado de la votación utilizando la distribución beta-binomial (la distribución predictiva de la distribución binomial con un previo beta). En realidad, predecir unas elecciones es, por supuesto, mucho más difícil.

Answer 2

1. Calcula las probabilidades de A y B a partir de las muestras que tienes utilizando la Máxima Verosimilitud. Multiplica las probabilidades que obtienes para A por 0,4 y para B por 0,6. Compara los resultados. El estimador MAP es el más alto.
2. ¿Cómo se interpreta la falta de conocimiento?
   Si dice que significa que cualquier caso tiene las mismas posibilidades, utilice lo anterior y multiplique por 0,5.
   Si dice que no hay ninguna prioridad, utilice la máxima probabilidad.
   Lo bueno de esto es que ambos casos chocan.

Disfruta,