He pasado algunos días tratando de entender cómo clasificar todos los espacios de cobertura de $X = \Bbb{R}\textrm{P}^2 \vee \Bbb{R}\textrm{P}^2$ y creo que para mí se reduce a entender cómo el grupo fundamental $\pi_1(\Bbb{R}P^2 \vee \Bbb{R}P^2, b_0)$ actúa sobre la cubierta universal $\tilde{X}$ de $X$ . Una imagen de $\tilde{X}$ se muestra en la página 78 aquí o en la imagen de abajo.
Entiendo que $\pi_1(\Bbb{R}\textrm{P}^2 \vee \Bbb{R}\textrm{P}^2, b_0)$ es isomorfo al grupo de transformaciones de cubierta en $\tilde{X}$ que denotaré por $G(\tilde{X})$ . Además, sé que dado cualquier subgrupo $H$ de $\pi_1(\Bbb{R}\textrm{P}^2 \vee \Bbb{R}\textrm{P}^2, b_0)$ para encontrar un espacio de cobertura $Y$ correspondiente a ese subgrupo, basta con mirar el espacio orbital $\tilde{X}/H$ . Así, por ejemplo, un punto en $\tilde{X}/H$ sería la órbita completa de algún $x \in \tilde{X}$ bajo la acción de $H$ . Tiene sentido hablar de la órbita de $x$ en $H$ porque el isomorfismo $$\pi_1(\Bbb{R}\textrm{P}^2 \vee \Bbb{R}\textrm{P}^2, b_0) \cong G(\tilde{X})$$
significa que $H$ puede ser identificado como un subgrupo del grupo de transformaciones de cubierta en la cubierta universal $\tilde{X}$ . Por lo tanto, creo que para clasificar todos los espacios de cobertura de $\Bbb{R}\textrm{P}^2 \vee \Bbb{R}\textrm{P}^2$ Basta con entender la acción de $\pi_1(\Bbb{R}\textrm{P}^2 \vee \Bbb{R}\textrm{P}^2,b_0)$ en la cubierta universal $\tilde{X}$ . Ahora considere la imagen de abajo:
En la parte superior tenemos la cubierta universal $\tilde{X}$ de $\Bbb{R}P^2 \vee \Bbb{R}P^2$ que es una unión infinita de esferas colocadas juntas. Debería decir que en la imagen hay infinitas esferas a la izquierda y a la derecha. He elegido $e_0$ para ser un punto base de $\tilde{X}$ . Mi mapa de cobertura
$$p: \tilde{X} \to X$$
es tal que si se toma cualquier punto de una esfera $S^2$ "localmente" sobre ese punto $p$ es sólo el mapa de proyección habitual de $S^2 \to \Bbb{R}P^2$ . En la mitad inferior de la imagen tenemos sólo el $1$ - esqueleto de $\Bbb{R}P^2$ . Ahora elijo la siguiente presentación para $\pi_1(\Bbb{R}P^2 \vee \Bbb{R}P^2, b_0)$ a saber:
$$\langle a,b | a^2 = b^2 = 1\rangle.$$
Mi comprensión de la acción de esto en $\tilde{X}$ : Supongamos que queremos entender cómo el elemento $a$ actúa sobre $\tilde{X}$ . Ahora bien, por lo que tengo entendido, $a$ actuará sobre $e_0$ de la siguiente manera: levantamos $a \in \langle a,b | a^2 = b^2 = 1\rangle$ a una ruta que comienza en $e_0$ en $\tilde{X}$ . Perdón por la anotación pero el ascensor creo que es exactamente el mismo $a$ como se muestra a partir de $e_0$ y terminando en $y$ . Dado que el punto final de $a$ es $y$ Creo que bajo la acción de $a$ , $e_0$ se envía a $y$ .
Ahora, en este punto, corríjanme si me equivoco. Sólo sabemos con seguridad que $e_0$ se envía a $y$ ¿Si? No sabemos lo que hace a otros puntos. Por lo tanto, para averiguar la transformación de la cubierta correspondiente a $a$ Tenemos que adivinar un poco. Ahora sabemos que tal transformación de la cubierta decir $f$ debe ser compatible con la proyección $p : \tilde{X} \to X$ en el sentido de que $$p \circ f = p.$$
Por ejemplo, la reflexión sobre la línea de puntos $L$ no es un válido transformación de la cubierta porque no es compatible con $p$ . Ahora una suposición para una transformación de la cubierta $f$ correspondiente a $a$ sería un mapa antipodal sobre la esfera en la esfera que $L$ corta a través y un giro de toda la cadena de esferas de extremo a extremo. Tal $f$ es claramente compatible con $p$ y además envía $e_0$ a $y$ . Por lo tanto, por la unicidad de las transformaciones de la cubierta concluimos que $f$ debe ser el correspondiente a $a$ .
¿Es correcto lo que entiendo? He pasado mucho tiempo confundido sobre toda esta situación.
Gracias por cualquier ayuda.
