Demostrar la convergencia es fácil, ya que para $x\geq 0$ tenemos $\sin x\leq x$ Así que..:
$$0\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\left(\frac{1}{n}\right)\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$
Me preguntaba si podría tener una forma cerrada. No puedo encontrar una, pero estoy seguro de que la gente de aquí tendrá ideas.
La suma es aproximadamente $1.47282823195618529629494738$ . Conectando esto al Calculadora simbólica inversa no encuentra ninguna coincidencia. Lo más probable es que esto no tenga una forma cerrada.
La versión "algebraizada $\sum\dfrac1n\sin\left(\dfrac\pi n\right)$ tampoco parece tener una forma cerrada - obtengo un valor de aproximadamente 1,6425614523 con el método zeta, y el ISC tampoco encuentra nada útil aquí.
Algebraizado" sólo en el sentido de que todos los términos individuales son algebraicos (a diferencia de la suma original de la OP, que tiene todos los términos trascendentales); esto no significa nada en particular, por supuesto, pero tenía curiosidad. Lo he calculado mediante la misma expansión de Taylor mencionada en el comentario de Yimin en el post original: es igual a la suma $\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k\pi^{2k+1}}{(2k+1)!}\zeta(2k+2)$ y esto converge lo suficientemente rápido como para evaluar a muchos lugares con Alpha.
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Prueba la expansión de Taylor, obtendrás $\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{(k-1)}}{(2k-1)!}\dfrac{1}{n^{2k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{(k-1)}}{(2k-1)!}\zeta(2k)$
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Mi idea es que no hay razón para esperar una forma cerrada.