Probar que un anillo es semiprimitivo

Question

Estoy atascado en una pregunta, ¿cómo se demuestra que para cualquier anillo $R$ si para todo $a \in R$ existe $n(a)>1$ natural tal que $a^{n(a)}=a$ entonces $R$ ¿es semiprimitivo?

Supongo que habría que demostrar que esto implica que cada elemento no es cuasi-regular y, por tanto, el radical de Jacobson es 0, pero estoy totalmente perdido sobre cómo conseguirlo.

Answer 1

Después de pensar un poco en tu comentario original de probar sólo $0$ era cuasiregular, me doy cuenta de que lleva a una solución muy directa.

Si $a$ es distinto de cero y cuasiregular derecho, entonces $1-ar$ es una unidad para cada $r\in R$ . Pero siempre tenemos ese $a(1-ar)=0$ donde $r=a^{n(a)-2}$ . Eso evita que $1-ar$ de ser una unidad, y muestra que el radical de Jacobson es cero.

---

Exageración original:

Asumiendo que quieres decir que $n(a) >1$ para todos $a$ entonces es obvio que el anillo no tiene ningún elemento nilpotente no nulo. Pues, si $a$ fuera un nilpotente no nulo, entonces hay una potencia $a^i$ , etiquétalo $b$ , de tal manera que $b\neq 0$ y $b^2=0$ . Pero como $n(b)\geq 2$ , esto dice $b^{n(b)}=b=0$ una contradicción. Por lo tanto, el anillo no tiene elementos nilpotentes no nulos (= un anillo reducido.) La intersección de los ideales primos es por lo tanto el ideal cero.

Además, por un teorema de Jacobson, el anillo es conmutativo.

Ahora dejemos que $P$ sea un ideal primo. Entonces $R/P$ es un dominio con la misma propiedad en sus elementos. En el cociente, siempre que $0\neq a=a^{n(a)}$ , anulamos una potencia de $a$ de ambos lados para obtener $1=aa^{n(a)-2}$ y ver que $a$ es una unidad. Por lo tanto, $R/P$ es un campo, y $P$ es un ideal máximo.

Así, la intersección de los ideales máximos es el ideal cero, y el anillo es semiprimitivo.