Un ejemplo de cerrado y acotado no implica compacidad en el espacio métrico

Question

Dejemos que $X$ sean los enteros con métrica $(m,n)=1$ , excepto que $(n,n)=0$ . Comprueba que $$ is a metric. Show that $ X$ es cerrado y acotado, pero no compacto.

Este es un ejemplo "inventado" que demuestra que lo cerrado y acotado no implica lo compacto en un espacio métrico más general. He comprobado que $\rho$ ya es una métrica. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo abordar el tema de "mostrar $X$ es cerrado y acotado". He visualizado esta métrica como un conjunto de números con sólo $0$ y $1$ (¿o tal vez esto no es correcto?). Además, dudo que esta métrica NO sea compacta. De todos modos, ¡agradecería que me ayudaran! Mientras tanto, ¿usamos una bola $B(0,1)$ en general para demostrar que una métrica es cerrada y acotada? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Su métrica genera el espacio discreto donde cada subconjunto de $X$ está abierto (y por tanto también cerrado). Está acotado, porque cada punto se encuentra dentro de una distancia $1$ de algún punto $x_0$ (cualquiera sirve). No es compacto, porque $\{\{x\} \mid x \in X\}$ es una cubierta abierta de $X$ pero no podrá elegir una subcubierta finita, porque $X$ es infinito.

Espero que esto ayude ;-)

Answer 2

He aquí un ejemplo sencillo. Denotemos por $\ell^\infty$ el conjunto de todas las secuencias acotadas de números reales; ponga $$d(x,y) = \sup_n |x_n - y_n|.$$ Entonces todas las secuencias de distancia $\le 1$ de la secuencia cero es cerrada, acotada pero no es compacta.

Answer 3

Por El lema de Riesz Sabemos que la bola unitaria cerrada y acotada de un espacio normado de dimensión infinita (que es un caso particular de espacio métrico) nunca es compacta.

Answer 4

Sólo hay que dividir la bola abierta por 3 y luego obtener la función inyectiva. Luego se obtiene el Big(O) de eso y se debería demostrar