Mostrar $x^2+y^2=9z+3$ no tiene soluciones enteras

Question

Mostrar $x^2+y^2=9z+3$ no tiene soluciones enteras

Así que sé que $x^2+y^2=3(3z+1)$

Y como $3\mid (9z+3)$ y $3\not\mid (3z+1)$ entonces $9z+3$ no puede ser un cuadrado ya que tiene un divisor primo que tiene una potencia menor que $2$ .

Así que sabe que esto no es un triple pitagórico $(x,y,\sqrt{9z+3})$ ¿me da que no hay soluciones o tengo que mostrar más?

Answer 1

Una pista: si $n$ es un número entero, entonces $n^2\bmod 3$ es $0$ si $n$ es un múltiplo de $3$ y es $1$ de lo contrario.

¿En qué caso puede ocurrir que $x^2+y^2$ es un múltiplo de $3$ ¿entonces?

Answer 2

Ha demostrado que $3|9x + 3$ . También ha demostrado que $9\not \mid 9x+3$ .

Eso significa que $3|x^2 + y^2$ así pero $9\not \mid x^2 + y^2$ .

Si $x$ y $y$ son divisibles por $3$ entonces $x^2 + y^2$ es divisible por $9$ . Así que eso está descartado. Si uno de $x$ o $y$ es divisible por $3$ pero el otro no es entonces $x^2 + y^2$ no es divisible por $3$ y eso es todo.

Así que las únicas opciones no son ninguna de las dos $x$ ni $y$ es divisible por $3$ .

Así que $x \equiv \pm 1 \pmod 3$ y $y \equiv \pm 1 \pmod 3$ . Lo que significa que $x^2 \equiv (\pm 1)^2 \equiv 1 \pmod 3$ y $y^2 \equiv (\pm 1)^2 \equiv 1 \pmod 3$ .

Así que $x^2 + y^2 \equiv 2\pmod 3$ y $3\not \mid x^2 + y^2$ así que eso está descartado.

Así que las tres opciones están descartadas.

Answer 3

Desde $x^2 + y^2 = 9z+3$ debe ser cierto, también debe ser cierto que $$x^2+y^2 \equiv 3 \pmod 9$$

Sin embargo, si enumeramos $x^2 \pmod 9$ para $0 \le x < 9$ obtenemos $$0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1$$

No hay forma de sumar dos números de $0, 1, 4, 7$ tal que la suma es igual a $0 \pmod 9$ .

Por lo tanto, $x^2 + y^2 = 9z + 3$ no tiene soluciones enteras.