"Resumiendo" la serie $\sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{3}\sin(3x)+\frac{1}{4}\sin(4x)+...$

Question

"Resumiendo" la serie $\sin(x)+\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{3}\sin(3x)+\dfrac{1}{4}\sin(4x)+...$

Pose $$S=\sin(x)+\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{3}\sin(3x)+\dfrac{1}{4}\sin(4x)+...$$ $$C=\cos(x)+\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{3}\cos(3x)+\dfrac{1}{4}\cos(4x)+...$$

$$C+iS = e^{ix}+\dfrac{1}{2}(e^{ix})^2+\dfrac{1}{3}(e^{ix})^3+\dfrac{1}{4}(e^{ix})^4+...$$

Dejemos que $t$ = $e^{ix}$

Entonces tenemos una serie de $t+\dfrac{t}{2}+\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{4}+...=\log(1+t)$

Que es $-\log(1-e^{ix})=\log(1-\cos(x)-i\sin(x))$ Utiliza la fórmula $\log(A+iB)=\dfrac{1}{2}\log(A^2+B^2)+\arctan\left(\dfrac{B}{A}\right)$

$-\log([1-\cos(x)]-i\sin(x))=-\dfrac{1}{2}\log([1-\cos(x)]^2-i\sin^2(x))-i\arctan\left(-\dfrac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\right))$ . Como sólo nos interesa la parte imaginaria, tenemos la suma para $S$ es:

$$-\arctan\left(-\dfrac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\right)$$

Que es $-\arctan\left(-\cot(\dfrac{x}{2})\right)$

No sé qué hacer ahora.

La "suma" de esta serie debe ser $\dfrac{\pi-x}{2}$ Según Euler.

Answer 1

En primer lugar, las series son $$ \log(1+x)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{x^k}k $$ y $$ -\log(1-x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}k $$ La serie es $2\pi$ -periódica y la suma para $-\pi\le x\le\pi$ es $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(kx)}k &=\frac1{2i}\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}k\\ &=-\frac1{2i}\left(\log(1-e^{ix})-\log(1-e^{-ix})\right)\\ &=\frac1{2i}\log\left(\frac{1-e^{-ix}}{1-e^{ix}}\right)\\ &=\frac1{2i}\log\left(-e^{-ix}\right)\\[3pt] &=\operatorname{sgn}(x)\frac\pi2-\frac x2 \end{align} $$

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Nota sobre $\boldsymbol{\operatorname{sgn}(x)}$

Desde $\sin(x)$ es impar, la serie debe ser impar. Sin embargo, $\frac{\pi-x}2$ no es impar. El límite como $x\to0^+$ es $\frac\pi2$ pero en $x=0$ todos los términos de la serie son $0$ , por lo que la suma es $0$ . Así que eso debería darnos una pista sobre el hecho de que hay una discontinuidad allí (esto es porque la convergencia es no uniforme cerca de $0$ ).

Teniendo en cuenta la rareza obtenemos $\operatorname{sgn}(x)\frac\pi2-\frac x2$ . Esto también se demuestra al observar $\frac1{2i}\log\left(-e^{-ix}\right)$ : cuando $x$ aumenta de $0$ , $-e^{-ix}$ se mueve en el sentido de las agujas del reloj desde $-1$ Así que.., $\frac1{2i}\log\left(-e^{-ix}\right)$ está disminuyendo de $\frac\pi2$ . Cuando $x$ está disminuyendo de $0$ , $-e^{-ix}$ se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj desde $-1$ Así que.., $\frac1{2i}\log\left(-e^{-ix}\right)$ aumenta de $-\frac\pi2$ .