Raíces cúbicas de cinco

Question

Esto no es realmente la tarea.

Yo podría ser capaz de hacer esto por mí mismo en el tiempo, a partir de los métodos en Irlanda y Rosen.

Tenga en cuenta que cada número tiene exactamente una raíz cúbica $\pmod q$ para cualquier prime $q \equiv 2 \pmod 3.$

Para los números primos mayores que $3$ $p \equiv 1 \pmod 3:$ Gauss: $2$ es un cubo si y sólo si se puede escribir $p = u^2 + 27 v^2,$, en cuyo caso hay tres raíces cúbicas de $2.$ Jacobi: $3$ es un cubo si y sólo si se puede escribir $p = u^2 + uv + 61 v^2,$, en cuyo caso hay tres raíces cúbicas de $3.$

Me gustaría una prueba de esto, ya comprobado en equipo; para los números primos mayores que $3$ con $p \equiv 1 \pmod 3:$ $5$ es un cubo de $\pmod p$ si y sólo si se puede escribir $p = u^2 + uv + 169 v^2$ O $p = 13u^2 + uv + 13 v^2,$, en cuyo caso hay tres raíces cúbicas de $5.$

EEDDIITT, martes: también me gustaría una prueba de que para los números primos mayores que $10$ con $p \equiv 1 \pmod 3:$ $7$ es un cubo de $\pmod p$ si y sólo si se puede escribir $p = u^2 + uv + 331 v^2$ O $p = 19u^2 + 11uv + 19 v^2,$, en cuyo caso hay tres raíces cúbicas de $7.$

Yo pienso que es muy probable que estos se pueden hacer por completo el uso de los métodos en el capítulo 9 de Irlanda y Rosen, título del capítulo "Cúbico y Biquadratic Reciprocidad". Hice uso de la etiqueta de clase-de campo-de la teoría, pero creo que innecesaria. Cúbicos parece ser justo páginas 108-119, a continuación, algunos de los ejercicios 134-137. Voy a ver qué puedo hacer.

NOTA: el grupo de clase para discriminante $-675 $ tiene dos géneros: el género principal tiene formularios (clases) $$ \langle1,1,169 \rangle; \; \; \langle9,3,19 \rangle; \; \; \langle9,-3,19 \rangle. $$ Note that these forms always give residues $\pmod 5$ when they are not divisible by $5.$

El otro género tiene formas (clases) $$ \langle13,1,13 \rangle; \; \; \langle7,5,25 \rangle; \; \; \langle7,-5,25 \rangle. $$ Note that these forms always give non-residues $\pmod 5$ when they are not divisible by $5.$

Motivación: estoy interesado en saber los números que tienen una representación integral como $9 x^2 + 3 x y + 19 y^2 - z^3.$ Hay un interesante arruga aquí, hay más números negativos, los valores absolutos de los números que no están representados (aparentemente) dar un superconjunto de los modelos positivos. creo que es causada por tener más de un género. Yo ya creo que todos los números que no están representados, de los formularios de $5 A^3$ $3125 B^3,$ pero hay más negativo $A$ de positivos $A,$ parece, probablemente similar para $B.$

La noche del domingo: me di cuenta de la aparente falta de simetría. Yo no deje que el equipo se vaya lo suficientemente alto, eso es todo. Todos ellos son refutadas por tres fórmulas junto con Gauss composición, $$ 6^3 - 5 = 211 = x^2 + x y + 169 y^2, \; x=6,y=1 $$ $$ 12^3 - 5 = 1723 = 13 x^2 + x y + 13 y^2, \; x=11,y=3 $$ $$ 23^3 - 40 = 12127 = 13 x^2 + x y + 13 y^2, \; x=30,y=-7 $$

Comparar Lo que los números están íntegramente representado por $4 x^2 + 2 x y + 7 y^2 - z^3$

Answer 1

Sí, estos se pueden hacer con cúbicos de reciprocidad. Este es el siguiente Cox, los números Primos de la forma $x^2+ny^2$ $\S 4.A$.

En la secuela deje $a,b,c,p,r,s,u,v$ denotar racionales enteros.

Deje $\omega=e^{2\pi i/3}$, e $\Bbb Z[\omega]$ es un dominio Euclídeo con la norma $N(a+b\omega)=a^2-ab+b^2$.

Deje $\pi,\alpha,\beta,\sigma$ denotar elementos de $\Bbb Z[\omega]$.

Si $\pi$ es el primer en $\Bbb Z[\omega]$ $\pi$ se llama primaria si $\pi=a+3b\omega$, y cada una de las prime tiene un principal de asociado.

Si $\pi$ es el primer y $\pi \not \mid 3\alpha\beta$ luego cúbicos de reciprocidad dice $$ \left(\frac\alpha\pi\right)_3 \equiv \alpha^{(N(\pi)-1)/3} \pmod \pi \\ \left(\frac{\alpha\beta}\pi\right)_3 = \left(\frac\alpha\pi\right)_3 \left(\frac\beta\pi\right)_3 \\ \left(\frac\alpha\pi\right)_3 = \left(\frac\beta\pi\right)_3 \quad \mathrm{siempre}~\alpha\equiv\beta\pmod\pi $$ y si $\pi,\alpha$ son primarios de los números primos, a continuación, $$ \left(\frac\alpha\pi\right)_3 = \left(\frac\pi\alpha\right)_3 $$

Si $p\equiv 1\pmod 3$ es un racional prime entonces podemos escribir $p=\pi \overline\pi$ $\pi$ $\overline\pi$ primarios de los números primos. Desde $5$ es también una primaria prime en $\Bbb Z[\omega]$$N(5)=25$, escribir $\pi=a+3b\omega$ $$ p = a^2-3ab+9b^2\\ \left(\frac 5\pi\right)_3 =\left(\frac\pi 5 \right)_3 \equiv (a+3b\omega)^8 \pmod 5\\ \left(\frac 5\pi\right)_3 = 1 \iff (a+3b\omega)^4\equiv \pm 1 \pmod 5 \\ \iff^4-3a^3b\omega-a^2b^2\omega^2-2ab^3+b^4\omega \equiv \pm 1 \pmod 5 \\ a^4+a^2b^2-2ab^3+b^4+a^2b^2-3a^3b)\omega \equiv \pm 1 \pmod 5 \\ \iff 5 \mediados de los a^4+a^2b^2-2ab^3\pm1 \quad \mathrm{y} \quad 5 \mediados de b^4+a^2b^2+2a^3b \\ b\equiv 0 \quad \mathrm{o} \quad\equiv -b \pmod 5 $$ los que podemos obtener mediante la enumeración de los casos. En el primer caso, escribir $b=5c$ $$ p = a^2-15ac+225c^2 = u^2+uv+169v^2 $$ con $u=a-7c,v=-c$. En el segundo caso escribir $b=5c-a$ $$ p = 13a^2-105ac+225c^2 = 13u^2+uv+13v^2 $$ con $u=4c-a,v=c$. Es inmediato que las condiciones son las mismas para $(5/\overline\pi)_3=1$ y, por tanto, para $5$ a ser un cubo de mod $p$.

Desde $7=\sigma \overline\sigma = (1+3\omega)(-2-3\omega)$ no es primo en $\Bbb Z[\omega]$ procedemos de un modo un poco diferente. Tomando $7<p=\pi\overline\pi$ por encima de $$ \pi=a+3b\omega \equiv a+3b\omega-b(1+3\omega) = a-b \pmod \sigma \\ \pi \equiv a+3b\omega+b(-2-3\omega) = a-2b \pmod {\overline\sigma} \\ \left(\frac \sigma\pi\right)_3 = \left(\frac\pi\sigma\right)_3 \equiv (a+3b\omega)^2 \pmod \sigma $$ Desde $\sigma\mid 7$, para cualquier $\alpha\in\Bbb Z[\omega]$ $\sigma \not\mid \alpha$ podemos escribir $\alpha \equiv r \pmod \sigma$ algunos $r\in\{\pm 1,\pm 2,\pm 4\}$. Es sencillo encontrar $$ \left(\frac{\pm 1}\sigma\right)_3 = 1, \quad \left(\frac{\pm 2}\sigma\right)_3 = \omega^2, \quad \left(\frac{\pm 4}\sigma\right)_3 = \omega \quad \\ \left(\frac{\pm 1}{\overline\sigma}\right)_3 = 1, \quad \left(\frac{\pm 2}{\overline\sigma}\right)_3 = \omega \quad \left(\frac{\pm 4}{\overline\sigma}\right)_3 = \omega^2, \quad $$ Así $$ \left(\frac 7\pi\right)_3 = \left(\frac\sigma\pi\right)_3\left(\frac{\overline\sigma}\pi\right)_3 = \left(\frac\pi\sigma\right)_3\left(\frac\pi{\overline\sigma}\right)_3 = \left(\frac{a-b}\sigma\right)_3\left(\frac{a-2b}{\overline\sigma}\right)_3 = 1 \\ \iff a-b\equiv \pm (a-2b) \pmod 7 \\ b\equiv 0 \quad \mathrm{o} \quad b\equiv 3a \pmod 7 $$

En el primer caso, escribir $b=7c$ $$ p = a^2-21ac+441c^2 = u^2+uv+331v^2 $$ donde $u=a-10c,v=-c$. En el segundo caso escribir $b=7c+3a$ $$ p = 73a^2-357ac+441c^2 = 19u^2+11uv+19v^2 $$ donde $u=a-2c,v=5c-2a$. De nuevo se deduce que uno de estos es necesario y suficiente para $7$ a ser un cubo de mod $p$.