Continuidad de una función a los enteros

Question

Estoy tratando de demostrar que en $\mathbb{Z}$ con topología cofinita, los únicos componentes conectados por el camino son los singletons. (Creo que) mostrando que

"si una función $\gamma : [0,1] \to \mathbb{Z}$ , donde $\mathbb{Z}$ tiene topología cofinita, es continua entonces es constante"

debería funcionar.

Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea cierto, y mucho menos de que sea un buen enfoque del problema. ¿Alguna opinión al respecto?

Editar : Estaba pensando: supongamos que $x,y \in \mathbb{Z}$ y $\gamma : [0,1] \to \mathbb{Z}$ , donde $\mathbb{Z}$ tiene topología cofinita. Supongamos además $x \neq y$ entonces $f^{1}(\mathbb{Z}\setminus \{x\})=(0,1]$ que no está abierto en $[0,1]$ , contradiciendo la continuidad. Por lo tanto, $x=y$ . ¿Te parece bien?

Edición 2 : ¡Olvida la (estúpida) edición de arriba!

Answer 1

Para eliminar esta pregunta de la lista de las no contestadas:

Supongamos que $\gamma:[0,1]\to\Bbb Z$ es continua pero no constante. Entonces

$$\left\{\gamma^{-1}\big[\{n\}\big]:n\in\Bbb Z\right\}$$

es una partición no trivial de $[0,1]$ en un número contable de conjuntos cerrados. Esta pregunta de MathOverflow y sus respuestas muestran que no existe tal partición. En aras de la exhaustividad, cito la brevísima respuesta de Tim Gowers:

Resulta que recientemente he estado pensando en esta cuestión. La prueba que me gusta utiliza el hecho de que una secuencia anidada de intervalos abiertos tiene una intersección no vacía siempre que ninguno de los puntos finales sea finalmente constante. Ahora uno construye inductivamente una secuencia de tales intervalos como sigue. Cada intervalo es un componente del complemento de la unión de los primeros n conjuntos cerrados, para algún n. Entonces se espera a que el siguiente conjunto cerrado intersecte ese intervalo. (Si no lo hace nunca, entonces hemos terminado trivialmente.) No puede llenar todo el intervalo, y de hecho debe omitir un intervalo a la izquierda y otro a la derecha. Así que pasa a uno de esos subintervalos de tal manera que sus opciones izquierda-derecha se alternan. Ya está hecho.