Traza de una matriz y su norma 3 de Schatten

Question

Intento demostrar que, dada una matriz compleja $A$ uno siempre tiene $$|\mathrm{tr}(A^3)| \leq \|A\|_3^3,$$ donde $\|\cdot\|_3$ denota el Schatten $3$ -norma . Sin embargo, me parece que me falta un ingrediente crucial y que no basta con desgranar las definiciones.

Answer 1

Probablemente haya varias formas de demostrar esto; yo me quedo con la primera que encontré al buscar las desigualdades adecuadas. Sea $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sean los valores propios de $A$ y $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ los valores singulares. Me referiré al teorema II.3.6 de la obra de Bhatia Análisis de la matriz y me limitaré a exponer la versión simplificada que necesitamos aquí:

Teorema II.3.6 (Teorema del Mayorante de Weyl) En las condiciones anteriores, $$ \sum_{j=1}^n|\lambda_j|^3\leq\sum_{j=1}^n\sigma_j^3. $$

Entonces $$ |\operatorname{Tr}(A^3)| =\left|\sum_{j=1}^n\lambda_j^3\right|\leq\sum_{j=1}^n|\lambda_j|^3\leq\sum_{j=1}^n\sigma_j^3=\operatorname{Tr}(|A|^3)=\|A\|_3^3. $$

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Con más detalle:

Teorema II.3.6 (Teorema del Mayorante de Weyl) Sea $A\in M_n(\mathbb C)$ con valores singulares $\sigma_1\geq\cdots\geq\sigma_n$ y los valores propios $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ dispuestos de manera que $|\lambda_1|\geq\cdots|\lambda_n|$ . Entonces, para cada función $\varphi:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ tal que $\varphi(e^t)$ es convexa y monótona creciente en $t$ tenemos $$ (\varphi(|\lambda_1|),\ldots,\varphi(|\lambda_n|)\prec_w(\varphi(s_1),\ldots,\varphi(s_n)). $$