¿Cómo puedo demostrar que $\det A= \det A^t$ ?

Question

Encontré este ejercicio en Artin. Me pide que demuestre que $\det A= \det A^t$ donde $A^t$ es la transposición de la matriz $A$ .

¿Puede alguien comentar si mi prueba es correcta o no?

Intento de solución: Si $\det A=0$ le $A$ es no invertible. Sabemos que una matriz es invertible si $A^t$ es invertible. Como $A$ es no invertible, por lo que también lo es $A^t$ y por lo tanto $\det A^t=0$ .

Si la matriz es invertible, entonces $A=E_rE_{r-1}\dots E_1$ para una secuencia finita de operaciones de fila elementales, $E_i$ . Utilizando el hecho de que $(AB)^t=B^tA^t$ y utilizando la inducción, deducimos que $A^t=E_1^tE_2^t\dots E_r^t$ . Así que, $\det A^t=\det (E_1^t)\det(E_2^t)\dots \det(E_r^t)$ .como $E_i^t$ es una operación de fila elemental también del mismo tipo, $\det E_i^t=\det E_i$ . Usando eso, $\det A^t=\det (E_1E_2\dots E_r)=\det A$ .

Answer 1

Aunque su prueba es básicamente correcta, no la consideraría mi prueba favorita de este hecho, por las siguientes razones:

• Utiliza la multiplicatividad de los determinantes, que es una propiedad mucho menos elemental que la invarianza bajo transposición.
• Sólo funciona para matrices sobre un campo, mientras que la definición del determinante, y la invariabilidad bajo transposición, no requieren más que un anillo conmutativo. Existe un principio general según el cual las identidades de este tipo, si se mantienen sobre campos, deben ser válidas también sobre anillos conmutativos, pero entender ese tipo de argumento requiere un nivel adicional de madurez matemática; en la mayoría de los casos (como éste) es mucho más fácil dar una prueba que sea válida en el entorno más general.
• Es necesario que se distinga el caso no invertible. Si permitiera una matriz triangular (para la que el resultado es obvio) al final del producto de las operaciones elementales, no necesitaría singularizar este caso (y como ventaja, en la mayoría de los casos necesitaría muchas menos operaciones elementales). Véase esta respuesta a una pregunta similar en la que se imponía el uso de operaciones de fila (pero la respuesta no dice a qué tipo de matriz se está reduciendo).

La forma de demostrarlo depende de la definición del determinante que se haya dado. Si se define mediante la fórmula de Leibniz (que en mi opinión es la correcta definición para dar, aunque una diferente motivación debería darse primero), entonces la prueba sólo consiste en mostrar que toda permutación tiene el mismo signo que su inversa, lo cual es bastante elemental (y, por cierto, puede hacerse de forma similar a tu prueba, pero utilizando una descomposición en transposiciones).

Si por el contrario se ha definido el determinante como único $n$ -función alternante lineal en un $n$ espacio vectorial dimensional que toma valor $1$ en una base ordenada dada, (lo que sigue requiriendo el uso de Leibniz o un sustituto para demostrar la existencia) entonces la invariancia bajo transposición es más difícil de ver. Aquí hay que pasar al espacio vectorial dual, pero parece necesario utilizar el hecho de que si $v_1,\ldots,v_n$ son vectores y $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ son formas lineales, entonces el determinante $$\begin{vmatrix}\alpha_1(v_1)&\ldots&\alpha_1(v_n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_n(v_1)&\ldots&\alpha_n(v_n)\end{vmatrix}$$ no es sólo $n$ -lineales y alternas en $v_1,\ldots,v_n$ por el hecho de ser fijo $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ (como se desprende de la definición) pero también $n$ -lineales y alternas en $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ (para los fijos $v_1,\ldots,v_n$ ); no veo ningún argumento fácil para ello, aparte de utilizar la fórmula de Leibniz. Una vez establecido esto, es fácil demostrar que un operador lineal $f$ induce el mismo factor escalar en $n$ -formas lineales cuando se aplican a $n$ -de vectores como cuando se aplica (a la derecha) a $n$ -de formas lineales, es decir, su determinante es el mismo que el de su transposición (en esencia, ambos casos corresponden a insertar un $f$ entre cada $\alpha_i$ y $v_j$ en el determinante anterior).

Esto todavía no proporciona un contexto en el que el uso de las operaciones de fila para demostrar este hecho sería una opción natural. No me queda claro en la pregunta si Artin realmente sugiere esto, y si es así, por qué. La única razón que se me ocurre para utilizar tal argumento es cuando alguien ordena no utilizarás la fórmula de Leibniz .

Answer 2

Creo que su prueba es correcta.

Obsérvese que la mejor manera de demostrar que $\det(A)=\det(A^t)$ depende mucho de la definición del determinante que se utilice. Mi forma personal favorita de demostrarlo es dando una definición del determinante tal que $\det(A)=\det(A^t)$ es obviamente cierto. Una posible definición del determinante de un $(n\times n)$ -matriz es $$\sum_{\text{pick $ n $ different numbers in the} \atop \text{matrix, no two in the same row or column}} \text{sign}(\text{your choice of numbers})\cdot(\text{product of the numbers}) .$$ En esta fórmula, el pequeño texto que aparece bajo el símbolo de la suma dice: "elige $n$ números diferentes en la matriz, sin que haya dos en la misma fila o columna". El signo de esta elección de números se calcula trazando un segmento de ling entre cualquier par de números elegidos y calculando a continuación $$(-1)^{\text{number of line segments with positive slope}} .$$ Si se sigue esta definición, está claro que el determinante no cambia al transponer la matriz (lo único que hay que observar es que un segmento de recta con pendiente positiva se transpone en uno con pendiente positiva, y un segmento de recta con pendiente negativa se transpone en uno con pendiente negativa).

Por supuesto, usar esta definición da desventajas a la hora de demostrar otras propiedades del determinante (bueno, supongo que sí).

Answer 3

Su prueba parece estar bien. Sé que Artin te dice que lo demuestres con operaciones de fila, lo que has hecho, pero podría ser instructivo ver más razones por las que este resultado es cierto. Intenta completar los detalles de esta prueba:

Inducción en $n$ donde $A$ es una matriz de n por n. Al calcular $\det A$ , ampliar a lo largo de la primera columna, y calcular $\det A^T$ expandiéndose a lo largo de la primera fila.

Answer 4

Aquí se dan dos pruebas, tanto "su prueba" como "una versión más clara" de las que aparecen en las otras respuestas: https://www.math.upenn.edu/~ekorman/teaching/det.pdf

Parecen estar bien pero no los he verificado. (Si alguien lo hace, podría editar mi respuesta o comentar a continuación. Parece que el documento es sólo un memorándum de un estudiante de entonces).