Prueba rigurosa de la cuantización Bohr-Sommerfeld

Question

La cuantización de Bohr-Sommerfeld proporciona una receta aproximada para recuperar el espectro de un sistema cuántico integrable. ¿Existe una explicación matemáticamente rigurosa de por qué funciona esta receta? En particular, supongo que da una descripción exacta de la asintótica de los grandes números cuánticos, que debería ser un teorema.

Además, ¿hay alguna forma de hacer la receta más precisa añadiendo correcciones de algún tipo?

Answer 1

Sí, se puede precisar y corresponde al orden principal de la expansión semiclásica (aproximación WKB) en $\hbar$ . Véase "Lectures on quantum mechanics for mathematics students" de Faddeev-Yakubovsky (§20, fórmula (13)). Un enfoque inspirado en la cuantización geométrica se explica en el capítulo 4 de la obra de Bates-Weinstein Conferencias sobre la geometría de la cuantificación .

Answer 2

Esta respuesta aborda el origen geométrico de la condición Bohr-Sommerfeld. En la cuantización geométrica, la estructura adicional requerida más allá de los datos simplécticos del espacio de fase es una polarización. Los espacios de cuantización se construyen como espacios de secciones polarizadas con respecto a una polarización. El tipo más "obvio" de polarización es la polarización de Kahler, en la que los espacios de cuantización son espacios de secciones holomorfas de un haz de líneas precuántico. Ejemplos sencillos de sistemas que pueden cuantificarse mediante una polarización de Kahler son el oscilador armónico y el espín. Otro tipo de polarización es la polarización real (véase por ejemplo el Conferencias de Blau ), que es localmente equivalente a la polarización de un haz cotangente. Una polarización real folia el espacio de fase (colector simpléctico) en submanifolds lagrangianos. Cuando las hojas son compactas, el espacio cuántico de Hilbert consta de secciones con soporte sólo en ciertas hojas, que son exactamente las que satisfacen la condición de Bohr-Sommerfeld. En este caso, el espacio de fase cuántico está generado por secciones distributivas soportadas únicamente en las hojas de Bohr-Sommerfeld (Este resultado se debe a Snyatycki). Por ejemplo, en el caso del espín, las hojas de Bohr-Sommerfeld son pequeños círculos en valores semienteros del $z$ en la esfera bidimensional. Un ejemplo más sofisticado de las hojas de Bohr-Sommerfeld es el sistema de Gelfand-Cetlin en las variedades de bandera.

Muchas fases clásicas admiten tanto la polarización de Kahler como la real. Es interesante que en muchos casos los espacios de Hilbert de cuantización son unitariamente equivalentes (es decir, la cuantización es independiente de la polarización). Véase, por ejemplo Exposición de Nohara .

Answer 3

Contrariamente a lo que se cree, la aproximación semiclásica se consigue mediante dos series diferentes: Una es la serie WKB y la otra es la serie Wigner-Kirkwood, siendo esta última una expansión de gradiente. En ambos casos, los valores propios se obtienen por la regla de Bohr-Sommerfeld pero sólo en el orden principal. He demostrado esto aquí (este artículo apareció en Proceedings of Royal Society A). Esta prueba es rigurosa y bastante diferente de la que se encuentra en los libros de texto habituales. Además, produce la serie completa para los valores propios exactos con el orden principal de la regla ordinaria de Bohr-Sommerfeld.

Answer 4

Aquí hay una forma muy básica de ver esto fácilmente:

Esto es Acción, buscar la "Acción Abreviada" y tiene la unidad SI de Joule-segundo. Esta es la ecuación que utilizó Planck (y más tarde, Einstein): $$E=nhf$$ para $n=1,2,3...$ y $f$ en frecuencia, en unidad de 1/segundo).

Esto significa que la constante de Planck tiene también una unidad de Joule-segundo, por lo tanto, se puede interpretar $nh$ como la Acción del sistema (ya que $n$ es adimensional, mantendrá la unidad, y sólo se utiliza para dar la respuesta "correcta", ya que no todos los sistemas mecánicos tienen $h$ como la Acción, $n$ debe utilizarse).

Así que $$nh=\int p\,dq$$ que es la regla de Sommerfield para la cuantización. Esto es sólo una intuición de cómo funciona.

Answer 5

Quizás se pueda derivar de una aproximación sobre la densidad de estados

$$ N(E)= \sum_{n=0}^{\infty}\theta(E-E_{n})\approx \frac{1}{2\pi \hbar}\iint_{V}\theta(E-H)dxdp $$

con $ H= P^{2}/2m +V(x) $ es el Hamiltoniano de la partícula y $ \theta (x) $ es la función de paso del lado pesado