Pregunta sobre un límite de ordinales admisibles

Question

Sea una secuencia omega de ordinales tal que el primero es el menor $\Sigma_1$ -ordinal admisible y el $n+1$ st es el menos $\Sigma_{n+1}$ -ordinal admisible. ¿Cuál es el nombre, si es que hay alguno, de la unión de todos ellos? Por cierto, $L$ a nivel de este ordinal sería el modelo mínimo de ZFC menos el axioma del conjunto de potencia.

Answer 1

Este ordinal no es tan grande como usted afirma. En particular, el universo construible hasta este ordinal no satisface ZFC menos el conjunto de potencias, y el ordinal ni siquiera es admisible.

Para ver esto, dejemos $\gamma_n$ ser el menos $\Sigma_n$ -ordinal admisible (lo que entiendo que quiere decir que $L_{\gamma_n}$ satisface KP más $\Sigma_n$ -sustitución, o de forma equivalente, $\Sigma_n$ -colección); y entonces el ordinal en cuestión es $\gamma=\sup_n\gamma_n$ y la estructura correspondiente $L_\gamma$ . Pero esta estructura no satisface KP, ya que el mapa $n\mapsto\gamma_n$ en el dominio $n\in \omega$ est $\Sigma_1$ -definible en $L_\gamma$ . La cuestión es que si algunos $L_\beta$ satisface una determinada sentencia es un $\Delta_0$ aseveración expresiva sobre $L_\beta$ ya que todos los cuantificadores están limitados por $L_\beta$ y si $\beta=\gamma_n$ es un $\Sigma_1$ -propiedad de $\beta$ dentro de $L_\gamma$ . A saber, $\beta=\gamma_n$ si y sólo si existe un conjunto transitivo $X$ que piensa que es $L_\beta$ y existe un predicado de satisfacción sobre este conjunto que cumple la definición recursiva de verdad de Tarski y según este predicado de satisfacción, el conjunto $X$ satisface KP y cada instancia de $\Sigma_n$ -y, por último, no más pequeño $\beta'\lt\beta$ satisface todas ellas.