Un elemento de $SL(2,\mathbb{R})$

Question

Un elemento $A$ de $SL(2,\mathbb{R})$ se llama elemento elíptico si $|\text{tr}(A)|<2$ .

Encuentra la relación entre un elemento elíptico de $SL(2,\mathbb{R})$ y la rotación.

Como $|\text{tr}(A)|<2$ la ecuación característica de $A$ no tiene raíces reales, por lo que no tiene ningún valor propio real. Pero soy incapaz de seguir adelante.

Answer 1

Dejemos que $g$ sea su elemento elíptico. Como los valores propios son complejos conjugados, $g$ tendrá un vector propio $\binom z1\in\Bbb C^2$ con la parte imaginaria de $z$ positivo.

Se puede demostrar que siempre se puede encontrar algún $h\in{\rm SL}_2(\Bbb R)$ tal que $h\binom i1=c\binom z1$ para algunos $c\in\Bbb R$ .

Así, $h^{-1}gh$ tendrá $\binom i1$ como vector propio.

El último paso es demostrar que los elementos de ${\rm SL}_2(\Bbb R)$ teniendo $\binom i1$ como un vector propio son precisamente los elementos del subgrupo ${\rm SO}_2(\Bbb R)$ es decir, las rotaciones.

Dejo los detalles como ejercicio.

Answer 2

He aquí una segunda prueba. Sea $\theta\in\Bbb R\setminus\pi\Bbb Z$ sea tal que $\mathrm{Tr}(A)=2\cos(\theta)$ . El polinomio característico de $A$ es igual a $\chi_A(X)=X^2-\mathrm{Tr}(A)X+\det(A)=(X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta})=\chi_{R_{\theta}}(X)$ donde $$ R_{\theta}=\begin{pmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta) \end{pmatrix} $$ Desde $\theta\notin\pi\Bbb Z$ , $e^{i\theta}\neq e^{-i\theta}$ y $A$ y $R_{\theta}$ son diagonalizables (sobre $\Bbb C$ ) y conjugar (como matrices complejas) a $$\begin{pmatrix} e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta} \end{pmatrix}$$ Concluimos invocando el hecho general de que dos matrices reales que son conjugadas como matrices complejas son conjugadas como matrices reales.