encontrar dos vectores $b_1 \in S$ y $\ b_2 \in S^T$ tal que $b_1+b_2=b=(1,1,1,1).$

Question

Consideremos el subespacio $S$ de $\ \mathbb{R}^4$ y su complemento ortogonal $\ S^T$ con bases $\ \{(1,0,0,1), \ (0,1,0,1), \ (0,0,1,1) \}$ y $\ \{(1,1,1,-1) \}$ respectivamente.

Entonces encuentre dos vectores $b_1 \in S$ y $\ b_2 \in S^T$ tal que $$b_1+b_2=b=(1,1,1,1).$$

Respuesta:

Desde $b_1 \in S$ y $b_2 \in S^T$ tenemos

$b_1 \cdot b_2=0$ .

Pero no puedo descubrirlo.

Ayúdame

Answer 1

En esta pregunta en particular, ya que $S^T$ es un subespacio unidimensional, sabemos que $b_2 \in S^T$ debe ser igual a $\lambda (1, 1, 1, -1)$ para algunos $\lambda$ . En aras de la brevedad, denotaremos $v := (1, 1, 1, -1)$ .

Dado que se nos da que $S^T$ es el complemento ortogonal de $S$ entonces $$\langle b, v \rangle = \langle b_1 + b_2, v \rangle = \langle b_1, v \rangle + \langle b_2, v \rangle = 0 + \lambda \langle v, v \rangle.$$ Ahora, sustituyendo los valores conocidos de $b$ y $v$ es fácil de resolver para $\lambda$ .

Entonces, una vez que sepas $\lambda$ A partir de ahí debería ser fácil calcular lo que $b_2$ y luego $b_1$ debe ser.

Answer 2

Sugerencia: Un vector en $S$ es $a(1,0,0,1)+b(0,1,0,1)+c(0,0,1,1)$ y un vector en $S^T$ es $d(1,1,1,-1)$ . Si la suma de estos es igual a $(1,1,1,1)$ ¿Puedes construir y resolver un sistema lineal que te dé la respuesta?

Answer 3

Consideremos una matriz cuyas columnas son las bases de $S$ y $S^T$ es decir $$M=\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\1&1&1&-1\end{bmatrix}$$ entonces para algún vector $v$ debemos tener $$Mv=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$$ utilizando operaciones elementales de fila obtenemos de $$\begin{bmatrix}1&0&0&1&1\\0&1&0&1&1\\0&0&1&1&1\\1&1&1&-1&1\end{bmatrix}$$ a $$\begin{bmatrix}1&0&0&1&1\\0&1&0&1&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&-4&-2\end{bmatrix}$$ lo que lleva a $$v_4={1\over 2}\\v_1=v_2=v_3={1\over 2}$$ por lo tanto $$b_1={1\over 2}(1,0,0,1)+{1\over 2}(0,1,0,1)+{1\over 2}(0,0,1,1)\\b_2={1\over 2}(1,1,1,-1)$$