Resolver $(z+i)^n+(z-i)^n=0$

Question

Dado un número complejo $z$ ¿Cómo puedo resolver $$(z+i)^n+(z-i)^n=0$$ ¿para z?

Mi intento

Pensé que no podría convertir esto en el formato de Euler. Así que recurrí al Teorema del Binomio. $$(z+i)^n+(z-i)^n=0$$ Utilizando el teorema del binomio, $$2\left[{n \choose 0}z^n+{n \choose 2}z^{n-2}i^2+{n \choose 4}z^{n-4}i^4+...\right]=0$$ $${n \choose 2}z^{n-2}+{n\choose 6}z^{n-6}+...={n \choose 0}z^{n}+{n \choose 4}z^{n-4}+...$$ ¿Cómo puedo solucionar esto después de este paso?

Se agradece cualquier pista.

Answer 1

Resolver:

$$\begin{align}y&=\frac{z+i}{z-i }\\ yz-yi&=z+i \\ (y-1)z&=(y+1)i \\ z&=\frac{iy+i}{y-1} \end{align}$$

Entonces necesitas $y^n=-1.$