Ceros no triviales de la función zeta de Riemann

Question

Estoy en el proceso de demostrar el teorema de los números primos, y me preguntaba si hay algún fácil manera de demostrar que $\sum_{\rho\in R} \rho^{-2}$ converge, donde $R$ es el conjunto de todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Por fácil me refiero a cualquier prueba que no utilice la idea del orden de crecimiento. Cualquier prueba algebraica/aritmética sencilla será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Considere $$\xi\left(s\right)=s\left(s-1\right)\pi^{s/2}\Gamma\left(s/2\right)\zeta\left(s\right)$$ que se puede reescribir, utilizando el producto de Hadamard $$\xi\left(s\right)=\frac{e^{As}}{2}\prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right)e^{s/\rho}$$ con $A=\log\left(2\pi\right)-1-2\gamma$ . Ahora, si tomamos los logaritmos y derivamos dos veces, obtenemos $$\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\log\left(\xi\right)\right)\left(s\right)=\sum_{\rho}\frac{1}{\left(\rho-s\right)^{2}}$$ así que toma $s=0$ y se obtiene la suma. Tenga en cuenta que con este método puede calcular cada $\sum_{\rho}\rho^{-n}$ .