¿Existe un biyecto $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $\sum f(n)/n^2$ ¿converge?

Question

Sabemos que $\displaystyle\zeta(2)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ y converge.

• ¿Existe un mapa biyectivo $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que la suma $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^2}$$ converge.

Si nuestro $s=2$ no era fijo, entonces podemos tener una función tal que $\displaystyle \zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}$ converge

Answer 1

Para $s>2$ puedes tomar $f(n)=n$ .

Para $s=2$ si tiene $m < n$ y $a=f(m) > b=f(n)$ entonces $$\frac{a}{m^2}+\frac{b}{n^2}>\frac{b}{m^2}+\frac{a}{n^2}$$ (demostrado ingenuamente o como un caso de la "desigualdad de reordenación") por lo que la suma $\sum f(n)/n^2$ puede reducirse intercambiando los valores $f(m)$ y $f(n)$ . Por lo tanto, $$\sum\frac{f(n)}{n^2}\ge\sum\frac{n}{n^2}$$ que es divergente.

Answer 2

Para $s=2$ la respuesta es negativa. Esta serie no converge.

Para demostrarlo podemos utilizar Transformación de Abel .

$$ \sum_{n=1}^{n=N} \frac{f(n)}{n^2} = \sum_{n=1}^{n=N} (\sum_{k=1}^{k=n} f(k)) (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n + 1)^2}) + (\sum_{n=1}^{N} f(n))\frac{1}{(N+1)^2} $$

Desde $f$ es biyección, $\sum_{k=1}^{k=n} f(k) \ge \frac{n^2}{2}$ por lo que la primera suma es mayor que $\sum_{n=1}^{N}\frac{c}{n}$ para algunos $c > 0$ .

Answer 3

Demostramos que el para cualquier $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ biyectiva esto no es cauchy. Supongamos que lo es para un $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $\sum_{n=N}^{2N} \frac{f(n)}{n^2} < \epsilon$ . Tenemos $\sum_{n=N}^{2N} \frac{f(n)}{n^2} \geq \frac{1}{(2N)^2}\sum_{n=N}^{2N}f(n)\geq \frac{1}{(2N)^2} \frac{N(N+1)}{2}=\frac{(N+1)}{8N}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8N}$ . Si elegimos $\epsilon < \frac{1}{8}$ obtenemos una contradicción.

Answer 4

Desde esta pregunta se ha cerrado como un duplicado de ésta, sólo supondré, como en la otra pregunta, que $f$ es inyectiva, y demostrar que la serie debe divergir. En caso de duda, también supondré $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ .

Dejemos que $S_N = \sum_{n=1}^N \frac{f(n)}{n^2}$ . La suma $S_N$ asigna "pesos" no negativos $f(1)$ , $f(2)$ ,... , $f(N)$ a los números $\frac{1}{1^2}$ , $\frac{1}{2^2}$ , ...., $\frac{1}{N^2}$ , en ese orden, y toma la suma.

Ahora digamos que queremos hacer la suma definiendo $S_N$ lo más pequeño posible reordenando los pesos. Está claro que para ello hay que asignar los pesos más grandes a los números más pequeños. Por lo tanto, si los pesos $f(1)$ , $f(2)$ , ..., $f(N)$ están dispuestos en orden creciente como $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_N$ debemos tener la desigualdad $$S_N \geq \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{n^2}.$$

Porque $f$ se supone inyectiva, es fácil demostrar por inducción que $a_n \geq n - 1$ . Así, las sumas parciales $S_N$ satisfacen la desigualdad $$S_N \geq \sum_{n=1}^N \frac{n-1}{n^2}.$$ Por lo tanto, la serie diverge en comparación con, por ejemplo, $\sum_2^{+\infty} \frac{1}{2n}$