¿Cuáles son algunas buenas aplicaciones de la topología algebraica que se pueden presentar a los estudiantes principiantes? Para dar ejemplos de lo que tengo en mente: El teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de Borsuk-Ulam, el teorema de la bola peluda, cualquier subgrupo de un grupo libre es libre.
Cuanto más profundos sean los métodos utilizados, mejor. Todo lo anterior puede demostrarse sólo con el grupo fundamental. Estaría bien contar con aplicaciones más implicadas.
Los estudiantes principiantes podrían apreciar las aplicaciones fuera de las matemáticas. He aquí un par de proyectos actuales (de licenciatura): La topología de los datos y Análisis de imágenes 3D . La herramienta utilizada se llama "homología persistente".
Acabo de toparme con un artículo de Eckmann muy interesante y fácil de leer llamado "Social Choice and Topology A Case of Pure and Applied Mathematics". Es un estudio de un resultado que Eckmann demostró hace mucho tiempo sobre los espacios que tienen "n-medios", y la aplicación de este resultado a la teoría social. Básicamente, si tienes alguna función que asigna una única preferencia cuando se dan las preferencias de una población, y esta función es "continua" y justa (puedes cambiar el orden de la población y no cambiará el resultado, y si todos tienen la misma preferencia entonces eso es lo que obtienes), entonces esto dice MUCHO sobre el espacio de preferencias. Dadas unas cuantas suposiciones sobre el espacio de preferencias (no sé hasta qué punto son razonables o realistas, ya que no tengo ni idea de lo que significaría que un espacio de preferencias fuera un complejo celular...), se puede demostrar de entrada que el grupo fundamental es abeliano (tenemos una estructura de espacio H), y más adelante básicamente clasifica todos los espacios posibles que admiten funciones de elección social. En fin, que me pareció muy chulo como ejemplo de matemáticas bonitas y una "aplicación" peculiar.
He aquí una interesante aplicación de la topología algebraica en la biología molecular:
Connolly, M.L. An application of algebraic topology to solid modeling in molecular biology. El ordenador visual 3 , 72-81 (1987). https://doi.org/10.1007/BF02153663
Para una aplicación relacionada con la informática, consulte este enlace: http://www.lix.polytechnique.fr/~sanjeevi/atmcs/
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