¿Cuáles son algunas buenas aplicaciones de la topología algebraica que se pueden presentar a los estudiantes principiantes? Para dar ejemplos de lo que tengo en mente: El teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de Borsuk-Ulam, el teorema de la bola peluda, cualquier subgrupo de un grupo libre es libre.
Cuanto más profundos sean los métodos utilizados, mejor. Todo lo anterior puede demostrarse sólo con el grupo fundamental. Estaría bien contar con aplicaciones más implicadas.
Este es mi favorito. Se puede demostrar que para cualquier mapa continuo de $S^{1}$ a $R^{3}$ existe una dirección a lo largo de la cual el mapa tiene al menos 4 extremos (en particular, al menos 2 mínimos y 2 máximos globales). De forma más coloquial, se puede demostrar que toda patata frita puede colocarse sobre una mesa de forma que su borde toque la mesa en al menos dos puntos y su borde tenga simultáneamente dos puntos de máxima altura.
Se puede demostrar el teorema fundamental del álgebra utilizando el grupo fundamental del círculo.
Además, como generalización del Teorema de la Bola Peluda, se puede calcular, para todas las esferas, el número máximo de campos vectoriales linealmente independientes que pueden vivir en esa esfera. (el teorema de la bola peluda dice que este número es 0 para esferas de dimensión par, y al menos 1 para esferas de dimensión impar). Para dimensiones inferiores a 15 (creo), se puede calcular este número utilizando sólo operaciones de cohomología. El resultado general fue demostrado por Adams, pero no estoy seguro de cómo lo hizo.
Como nota al margen: no creo que se puedan demostrar las versiones generales de Borsuk-Ulam, Brouwer, etc. con sólo el grupo fundamental... Se necesitan grupos de homotopía superiores o grupos de homología superiores.
Las únicas álgebras de división de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ tienen las dimensiones 1, 2, 4 y 8. Obsérvese que no exigimos que haya un elemento de identidad. Para versiones más débiles de este resultado, véanse las páginas 173 y 222 del libro de Hatcher Topología algebraica .
Edición: Una versión anterior de esta respuesta afirmaba, erróneamente, que las únicas álgebras de división de dimensión finita son $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{H}$ y $\mathbb{O}$ . Para que esto sea cierto, se necesita la hipótesis adicional de que existe un elemento de identidad.
No se trata de una aplicación específica, sino de un ámbito de aplicación. Robert Ghrist y otros utilizan la topología algebraica como forma de integrar los datos locales de las redes de sensores en la información global. Por ejemplo, se puede querer determinar si hay agujeros en la cobertura de los sensores. Aquí hay una entrevista con Ghrist, donde desarrolla esta idea.
El teorema del punto fijo de Brouwer puede ilustrarse con el juego Hex . De hecho, la determinación de Hex es equivalente a la versión bidimensional.
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