Expectativa condicional de las estadísticas de orden.

Question

Dado que $X,Y \sim \operatorname{Unif}[0,1]$ , encontrar $E[\max(X,Y)\mid X]$

Mi enfoque fue:

Si $X=x$ alors $E[\max(X,Y)\mid X=x] = E[\max(x,Y)\mid X=x] = E[\max(x,Y)] = E[Z]$ . Después de eso encontré el c.d.f. de Z, $$F_z (z) = P(Y\le x)\cdot I(0 < z \le x) + P(Y\le z)\cdot I(x \le z \le 1) + I(z\ge 1).$$ Entonces, dado que $Z$ es no negativo : $$E[Z]= \int_0^x (1-x)\,dz + \int_x^1 (1-z)\,dz = \frac{1-x^2} 2.$$ Entonces $$E[\max(X,Y)\mid X] = \frac{1-X^2} 2$$ Pero este resultado no satisface la condición de que $E[E[X\mid Y]]=E[X]$ ¿hay algo mal en mi trabajo?

Answer 1

Debe satisfacer $\mathsf E(\max\{X,Y\})=\mathsf E(\mathsf E(\max\{X,Y\}\mid X))$ Así que sí, hay algo que está mal en tu trabajo.

Desde $X,Y$ son uniformes iid $(0;1)$ es simplemente:

$$\mathsf E(\max\{X,Y\}\mid X) ~{= \int_0^X X~\mathrm d y+\int_X^1 y~\mathrm d y \\= \dfrac{X^2+1}{2}}$$

Eso es todo.

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PD: para $x\in(0;1)$ tenemos $F_{\max\{x,Y\}}(z) ~{= 0\cdot I(z<x)+F_Y(z)\cdot I(x\leq z<1)+I(1\leq z)\\ = x\cdot I(z=x)+z\cdot I(x< z\leq 1)+I(1< z)}\\ \mathsf E(Z) ~{= x F_Z(x)+\int_0^1 (1-z)\mathrm d z \\ = \frac{x^2+1}{2}}$

Es el punto masivo en $Z=x$ que te está lanzando al precipicio.

Answer 2

Supongamos que $0\le z\le 1.$ Entonces \begin{align} F_Z(z) = F_{\max\{\,x,\, Y\,\}} (z) = \Pr(\max\{x,Y\}\le z) & = \begin{cases} 0 & \text{if } z<x, \\ \Pr(Y\le z) & \text{otherwise.} \end{cases} \\[12pt] & = \begin{cases} 0 & \text{if } z<x, \\ z & \text{if } z\ge x. \end{cases} \end{align} Por lo tanto, $\Pr(Z=x) = x$ y, como $F'_Z(z) = 1$ pour $x<z<1,$ tenemos $$ \operatorname{E}(Z) = x\Pr(Z=x) + \int_x^1 z \cdot (1\, dz) = x^2 + \left(\frac{1^2} 2 - \frac{x^2} 2\right) = \frac{1 + x^2} 2.$$