En un límite inferior para $\sum_{k=1}^{n}{\sigma(k)}$

Question

Dejemos que $\sigma(X)$ sea la suma de los divisores de $X$ .

Quiero encontrar límites para $$\sum_{k=1}^{n}{\sigma(k)}.$$

Mi intento

Como los números enteros consecutivos son relativamente primos, y como tenemos la desigualdad $$\sigma(ab) \leq \sigma(a)\sigma(b)$$ donde la igualdad se mantiene si y sólo si $a$ y $b$ son relativamente primos, entonces tenemos el siguiente límite inferior (utilizando la desigualdad media aritmética-media geométrica) $$\sum_{k=1}^{n}{\sigma(k)} > n\left(\prod_{k=1}^{n}{\sigma(k)}\right)^{1/n} \geq n\left(\sigma\left(\prod_{k=1}^{n}{k}\right)\right)^{1/n} = n\left(\sigma(n!)\right)^{1/n}.$$

Mis preguntas son:

(1) ¿Es mi derivación del límite inferior para $$\sum_{k=1}^{n}{\sigma(k)}$$ ¿correcto?

(2) ¿Es posible hacerlo mejor en (1) ?

(3) ¿Qué es un optimizado límite superior para $$\sum_{k=1}^{n}{\sigma(k)}?$$

Answer 1

$$\sum_{k=1}^{n}\sigma(k) = \sum_{k=1}^{n}\sum_{d\mid k}d = \sum_{d=1}^{n}d\cdot\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\leq n^2,$$

$$\sum_{k=1}^{n}\sigma(k) \geq \sum_{d=1}^{n} d\cdot\left(\frac{n}{d}-1\right)=\frac{n^2-n}{2}.$$

Refinando el mismo enfoque (para una referencia, puede gustar la obra de Apostol Introducción a la teoría analítica de números ) también tenemos:

$$ \sum_{k=1}^{n}\sigma(k) = \sum_{q\leq n}\left(\frac{n^2}{2q^2}+\frac{n}{2q}-\frac{n\left\{n/q\right\}}{q}\right)=\frac{\pi^2}{12}\,n^2+C\,n\log n$$

con $\left|C\right|\leq\frac{3}{2}$ .