Consideremos el caso simple de la irradiación electromagnética de un dieléctrico isótropo homogéneo, despreciando la dispersión del índice de refracción. Suponiendo un medio transparente, la densidad espacial de las fuerzas que actúan sobre el dieléctrico en un campo electromagnético externo estático puede darse como
$$\mathbf{f} = - \nabla p - \nabla \epsilon \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} - \nabla \mu \dfrac{\langle \mathbf{H}^2 \rangle}{8 \pi} + \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} + \left( \rho \dfrac{\partial{\mu}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{H}^2 \rangle}{8 \pi} \right] + \dfrac{\epsilon \mu - 1}{4 \pi c} \dfrac{\partial}{\partial{t}}\langle [ \mathbf{E} \times \mathbf{H}] \rangle.$$
$p$ es la presión en el medio (para una densidad dada $\rho$ y la temperatura $T$ en campo cero.
$\epsilon$ y $\mu$ son la permitividad y la permeabilidad magnética.
$c$ es la velocidad de la luz.
Los corchetes angulares denotan el promedio sobre un período de tiempo mucho mayor que el período de alternancia característico de la luz.
Se dice que, al expresar $\langle E^2 \rangle$ a través de $I$ (la intensidad de la luz) e introduciendo el índice de refracción $n = \sqrt{\epsilon}$ podemos transformar la ecuación de la fuerza de estricción en
$$\mathbf{f}_{\text{str}} = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right] = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{c} \right].$$
Estoy tratando de entender cómo exactamente obtenemos $\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right] = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{c} \right]$ . He estado investigando mucho para tratar de entender esto, pero estoy atascado.
Mi mejor intento es el siguiente. Como se ha dicho aquí En óptica, el valor promediado en el tiempo del flujo irradiado se conoce técnicamente como irradiancia, pero a menudo se denomina simplemente intensidad. El Artículo de la Wikipedia sobre la intensidad dice que, si $I$ es la intensidad local (no estoy completamente seguro de que esta sea la suposición correcta para nuestro caso), entonces tenemos que $I = \dfrac{cn \epsilon_0}{2}|E|^2$ , donde $\epsilon_0$ es la permitividad del vacío. Y así, si suponemos que $\langle \mathbf{E}^2 \rangle = |E|^2$ (lo que parece ser cierto, dada la respuesta aquí ), entonces obtenemos que $|E|^2 = \dfrac{2I}{cn \epsilon_0}$ y así $\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right] = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n^2}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{4 \pi c n \epsilon_0} \right]$ . Pero no está claro cómo se procede a partir de aquí.
Otros hechos potencialmente relevantes que encontré durante mi investigación son los siguientes:
- Según la artículo sobre la irradiación (diferente del artículo sobre la intensidad), $E_{{\mathrm {e}}}={\frac {n}{2\mu _{0}{\mathrm {c}}}}E_{{\mathrm {m}}}^{2}\cos \alpha ={\frac {n\varepsilon _{0}{\mathrm {c}}}{2}}E_{{\mathrm {m}}}^{2}\cos \alpha$ . Si dejamos que $\cos(\alpha) = 1$ para nuestro caso, entonces esto podría ser relevante.
- El artículo sobre la permitividad del vacío afirma que $\varepsilon _{0}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}$ , donde $\mu_0$ es la permeabilidad al vacío.
- Este página sobre "densidad de energía, flujo y potencia" tiene numerosos datos relevantes que incluyen $E$ y los valores promediados en el tiempo, y parece que podrían anular los factores necesarios, como $4\pi$ o $8\pi$ de alguna manera.
Apreciaría mucho que la gente se tomara la molestia de explicar exactamente cómo pasamos de $\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right]$ a $\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{c} \right]$ .
