Grupos finitos con un subgrupo de cada índice posible

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito, con $|G|=n$ . Supongamos también que para cada entero positivo $m\mid n$ , $G$ tiene un subgrupo de índice $m$ . ¿Hay alguna afirmación general (estructural o de otro tipo) que pueda hacer sobre tales $G$ ?

Por ejemplo, todos esos grupos serán resolubles; pero como $S_4$ muestra, no tienen por qué ser supersolucionables. La colección también es estrictamente más pequeña que los grupos solubles, ya que $A_4$ espectáculos.

Gracias.

Answer 1

Usted pregunta por los grupos en los que se cumple la inversa del teorema de Lagrange (a veces llamados "lagrangianos"). Incluye todos los grupos supersolubles, pero incluye más que eso, pero no todos los grupos solubles. Que yo sepa, no hay ninguna caracterización de estos grupos. (Keith Conrad dice lo mismo en estas notas ). Una búsqueda rápida en MathSciNet revela un montón de artículos que discuten clases especiales de grupos que satisfacen la inversa del Teorema de Lagrange, pero ninguna caracterización estructural que haya podido encontrar.

En este documento Jing menciona una variante: un grupo es un $\mathscr{G}$ -si y sólo si para cada subgrupo $H$ de $G$ y cada factor primo $p$ de $[G:H]$ existe un subgrupo $K$ , $H\leq K\leq G$ tal que $[K:H]=p$ . Describe todos los valores de $n$ tal que todo grupo $G$ con $|G|=n$ es un $\mathscr{G}$ -grupo.

$\mathscr{G}$ -grupos tienen El artículo de Jing cita un libro de Bray, Deskins, Johnson, Humphreys, Puttaswamaiah, Venke, Walls y Weinstein en el que se demuestra que $G$ es un $\mathscr{G}$ -si y sólo si existe un subgrupo normal de Hall $N$ en $G$ tal que $N$ y $G/N$ son nilpotentes, y para cada $H\leq N$ tenemos $G=N\cdot N_{G}(H)$ .