Cómo obtener un límite superior para $\sum_{d|n} d \sum_{m|d} m$ ?

Question

Me gustaría obtener un límite superior para $$ S(n) = \sum_{d|n} d \sum_{m|d} m. $$ Puedo probar $S(n) \ll d(n) n^2$ donde $d(n)$ es el número de divisores de $n$ . Pero en el documento que estoy leyendo dice sin explicación $$ S(n) \ll n^3/\phi^2(n) $$ donde $\phi$ es la función totiente de Euler. Agradecería cualquier explicación al respecto. Gracias.

Answer 1

Sólo para registrar algo, el exponente en $\phi(n)$ es errónea, la expresión debería ser $n^3/\phi(n)$

Una pieza es el teorema 329 de Hardy y Wright $$ \frac{6}{\pi^2} < \frac{\sigma(n) \phi(n)}{n^2} < 1 $$

Sólo algo que hacer. El procedimiento, debido a Ramanujan, para valores sorprendentemente grandes de su función, es este: empezar con un real $\delta > 0.$ Para ese valor, defina un número $$ N_\delta $$ que es el $n$ valor que maximiza la relación $$ \frac{\sum_{d|n} \, d \, \sigma(d) \;}{n^{2 + \delta}} $$

Para todos los casos, salvo un determinado conjunto contable de $\delta,$ sólo habrá un maximizador; además, como todo es multiplicativo, encontramos el mejor exponente $k$ para un primer $p$ dejando $p^k$ maximizar (entre potencias de primos $p$ ) la misma proporción, $$ \frac{\sum_{d|p^k} \, d \, \sigma(d) \;}{p^{2k + k \delta}} $$ Lo que se hace es comparar ese ratio con los ratios con $k+1$ en su lugar, o $k-1$ en su lugar. El final del proceso es que $k$ es el piso de alguna expresión complicada en $p$ y $\delta. \; \; $ Oh, el conjunto de primos que vale la pena usar es finito, cuando $p$ es demasiado grande, tomando $k=1$ es peor que $k=0.$ Hay una introducción bastante suave en NICOLAS . También sería útil Alaoglu y Erdos .

Puede haber o no un proceso de forma cerrada para el método de Ramanujan. Mientras tanto, aquí están los primeros números extremos. Sabemos que está funcionando correctamente cuando cada nueva línea es la línea anterior multiplicada por un solo primo, ya sea aumentar uno de los exponentes existentes, o multiplicar por un nuevo primo. La lista siguiente es comparable a los Números Superiores Altamente Compuestos o a los Números Colosalmente Abundantes. El primer número decimal de cada línea es $\delta.$ El siguiente es el mejor entero, $N_\delta,$ y su factorización. Obsérvese que los factores primos comienzan por $2$ y son consecutivos, mientras que los exponentes de cada línea son no crecientes. En resumen, el número es un producto de primoriales. Por último, el "cociente" es $$ \frac{\sum_{d|n} \, d \, \sigma(d) \;}{n^{2 + \delta}} $$

0.5 ;  2 =  2  ratio  1.237436867076458
0.33 ;  6 =  2 3  ratio  1.399422908205721
0.2 ;  12 =  2^2 3  ratio  1.922262330287559
0.14 ;  24 =  2^3 3  ratio  2.24193487709251
0.1 ;  120 =  2^3 3 5  ratio  2.687547369136427
0.09 ;  360 =  2^3 3^2 5  ratio  2.837687177098467
0.075 ;  2520 =  2^3 3^2 5 7  ratio  3.116057606451912
0.07 ;  5040 =  2^4 3^2 5 7  ratio  3.241377998542384
0.039 ;  55440 =  2^4 3^2 5 7 11  ratio  4.226267503969329
0.034 ;  110880 =  2^5 3^2 5 7 11  ratio  4.465016977358566
0.031 ;  1441440 =  2^5 3^2 5 7 11 13  ratio  4.623701782662667
0.03 ;  4324320 =  2^5 3^3 5 7 11 13  ratio  4.69282633602653
0.024 ;  21621600 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13  ratio  5.14645345148709
0.021 ;  367567200 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13 17  ratio  5.418933455278657
0.018 ;  6983776800 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13 17 19  ratio  5.754532366348787
0.017 ;  13967553600 =  2^6 3^3 5^2 7 11 13 17 19  ratio  5.886759009794376
0.014 ;  321253732800 =  2^6 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23  ratio  6.317087431469826
0.0104 ;  9316358251200 =  2^6 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29  ratio  6.949519234316012
0.0103 ;  65214507758400 =  2^6 3^3 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29  ratio  6.971417630032335
0.0100 ;  195643523275200 =  2^6 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29  ratio  7.038710026874346
0.0090 ;  6064949221531200 =  2^6 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31  ratio  7.287660709217948
0.0080 ;  12129898443062400 =  2^7 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31  ratio  7.559967353802027
0.0070 ;  448806242393308800 =  2^7 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37  ratio  7.861709906083687
0.0065 ;  18401055938125660800 =  2^7 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41  ratio  8.02744821972626
0.0060 ;  791245405339403414400 =  2^7 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43  ratio  8.215288631708901
0.0050 ;  37188534050951960476800 =  2^7 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47  ratio  8.63965680876621

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Answer 2

Puedo mostrar lo siguiente (modulando mis errores habituales):

$\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{S(m)}{m^k} =\zeta(k)\zeta^2(k-1)$ y $ \dfrac{\sigma^2(n)\phi(n)}{n} \lt S(n) \lt \sigma^2(n) $ .

He aquí cómo.

Como sugiere Crostul si $S(n) = \sum_{d|n} d \sum_{m|d} m $ entonces

$\begin{array}\\ S(p^k) &= \sum_{d|p^k} d \sum_{m|d} m\\ &= \sum_{j=0}^k p^j \sum_{m|p^j} m\\ &= \sum_{j=0}^k p^j \sum_{i=0}^jp^i\\ &= \sum_{j=0}^k p^j \dfrac{p^{j+1}-1}{p-1}\\ &= \dfrac1{p-1}\sum_{j=0}^k p^j(p^{j+1}-1)\\ &= \dfrac1{p-1}\left(\sum_{j=0}^k p^jp^{j+1}-\sum_{j=0}^k p^j\right)\\ &= \dfrac1{p-1}\left(p\sum_{j=0}^k p^{2j}-\dfrac{p^{k+1}-1}{p-1}\right)\\ &= \dfrac1{p-1}\left(\dfrac{p(p^{2(k+1)}-1}{p^2-1}-\dfrac{p^{k+1}-1}{p-1}\right)\\ &= \dfrac1{(p-1)^2(p+1)}\left(p(p^{2(k+1)}-1)-(p+1)(p^{k+1}-1)\right)\\ &= \dfrac1{(p-1)^2(p+1)}\left(p^{2(k+1)+1}-p-(p^{k+2}+p^{k+1}-p-1)\right)\\ &= \dfrac1{(p-1)^2(p+1)}\left(p^{2k+3}-p^{k+2}-p^{k+1}+1)\right)\\ &= \dfrac1{(p-1)^2(p+1)}\left(p^{2k+3}-p^{k+1}-p^{k+2}+1)\right)\\ &= \dfrac1{(p-1)^2(p+1)}\left(p^{k+1}(p^{k+2}-1)-(p^{k+2}-1))\right)\\ &= \dfrac1{(p-1)^2(p+1)}\left((p^{k+1}-1)(p^{k+2}-1)\right)\\ &= \dfrac1{(p+1)}\dfrac{(p^{k+1}-1)(p^{k+2}-1)}{(p-1)^2}\\ &= \dfrac1{(p+1)}\sigma(p^k)\dfrac{(p^{k+2}-1)}{p-1}\\ &= \dfrac1{(p+1)}\sigma(p^k)\dfrac{(p^{k+2}-p+p-1)}{p-1}\\ &= \dfrac1{(p+1)}\sigma(p^k)\left(\dfrac{p^{k+2}-p}{p-1}+1\right)\\ &= \dfrac1{(p+1)}\sigma(p^k)\left(p\sigma(p^k)+1\right)\\ &= \dfrac1{(p+1)}\sigma(p^k)\left((p+1)\sigma(p^k)-\sigma(p^k)+1\right)\\ &= \dfrac1{(p+1)}\sigma(p^k)(p+1)\sigma(p^k)-\dfrac1{(p+1)}\sigma(p^k)(\sigma(p^k)-1)\\ &= \sigma^2(p^k)-\dfrac{\sigma(p^k)(\sigma(p^k)-1)}{(p+1)}\\ &= \sigma^2(p^k)\left(1-\dfrac{(1-1/\sigma(p^k)}{(p+1)}\right)\\ &< \sigma^2(p^k)\\ \text{so}\\ S(n) &\lt \sigma^2(n)\\ \text{and}\\ S(p^k) &> \sigma^2(p^k)\left(1-\dfrac{1}{(p+1)}\right)\\ &= \sigma^2(p^k)\left(\dfrac{p}{(p+1)}\right)\\ &> \sigma^2(p^k)\left(\dfrac{p-1}{p}\right)\\ &= \sigma^2(p^k)\left(\dfrac{p-1}{p}\right)\\ &= \sigma^2(p^k)\dfrac{\phi(p^k)}{p^k}\\ \text{so}\\ S(n) &\gt \dfrac{\sigma^2(n)\phi(n)}{n}\\ \text{also}\\ S(n) &= \sum_{d|n} d \sum_{m|d} m\\ &= \sum_{m|n}\sum_{d|\frac{n}{m}} d m\\ &= \sum_{m|n}m\sum_{d|\frac{n}{m}} d\\ &= \sum_{m|n}m\sigma(\frac{n}{m})\\ \text{so if}\\ s(k) &=\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{S(m)}{m^k},\\ u(k) &=\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{m}{m^k}\\ &=\zeta(k-1)\\ \text{and}\\ v(k) &=\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{\sigma(m)}{m^k}\\ &=\zeta(k)\zeta(k-1)\\ \text{then}\\ s(k) &=u(k)v(k)\\ &=\zeta(k)\zeta^2(k-1)\\ \end{array} $