$x^{10}$ o $e^{x-2}$ ¿Qué crece más rápido?

Question

Estoy tratando de resolver un límite y necesito entender cuál crece más rápido entre $x^{10}$ y $e^{x-2}$ .

Sé que $\lim_{x \to \infty}\frac{e^x}{x^a}=\infty$ pero cómo puedo demostrar que $\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x-2}}{x^a}=\infty$ me decantaría por una sustitución en la que $t=x-2$ pero no estoy seguro de ello. Además, ¿qué pasa si hay una constante? ¿Cómo puedo demostrar que para algunos $k>0$ , $\lim_{x \to \infty}\frac{e^{x-2}}{Kx^a}=0$ Es decir, para alguna constante esta cantidad va a 0. Tal vez esto no puede suceder, pero, incluso en este caso, ¿cómo podría demostrarlo? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x-2}}{x^a} = \frac{1}{e^2}\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^a} = \infty$$ De nuevo $$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{Kx^a} = \frac{1}{K}\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^a} = \infty$$

Sólo hay que recordar que la función exponencial crece más rápido que $x^a$ para cualquier $a$ . Una forma más intuitiva de ver esto es observar que $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$$ Así que, no importa lo que $a$ que tomes, simplemente toma cualquier número entero digamos $n>a$ y observe que $\frac{x^n}{n!}$ está en la expansión en serie de $e^x$ .