Funciones continuas en cada variable

Question

Supongamos que tenemos un mapa $f:X \times Y \rightarrow Z$ , donde $X,Y$ y $Z$ son espacios topológicos. ¿Existe alguna condición para $X$ , $Y$ y $Z$ que permita determinar que $F$ es continua si se sabía que era continua en cada variable? Parece que debería haber un teorema relacionado con esto.

Por definición, una homotopía de trayectoria $F: X \times I \rightarrow Y$ es continua. ¿Qué resultados de la topología algebraica no se mantendrían si sólo exigiéramos que el mapa fuera continuo en cada variable? ¿Las homotopías de trayectoria no generarían necesariamente el grupo fundamental?

Answer 1

Dejar $S^1=\{z\in\mathbb{C}\colon\vert z\vert=1\}$ sea el círculo unitario, consideremos el mapa $F\colon S^1\times I\to S^1$ dado por $$ F(e^{2\pi\theta i},s) = e^{2\pi\theta^si} $$ para $0 < \theta\le 1$ y $s\in I$ . Entonces $F$ es continua en cada variable, $F(z,1)=z$ y $F(z,0)=1$ . Por lo tanto, si sólo se requiere continuidad en las variables individuales, el círculo sería contratable . De forma más general, todo espacio topológico tendría un grupo fundamental trivial. Supongamos que $X$ es un espacio topológico y $\gamma\colon I\to X$ es una curva cerrada. Definir $F\colon I\times I\to X$ por $F(x,s)=\gamma(x^s)$ para $x,s\in I$ y $s > 0$ y $F(x,0)=\gamma(0)=\gamma(1)$ . Entonces $\gamma$ es nulo-homotópico (en relación con ${0,1}$ ). Así, el grupo fundamental colapsa al grupo trivial, al igual que todos los grupos homotópicos superiores.

Answer 2

Como es el caso de otros dos que han respondido (en el momento en que escribí esto), no tengo una respuesta a sus preguntas específicas (condiciones sobre $X$ , $Y$ y $Z$ ; análogos de homotopía para mapas continuos por separado). Sin embargo, el artículo de estudio de Piotrowski de 1996 o mi post de sci.math de 2005 (que contiene algunas referencias que no se dan en el artículo de Piotrowski -- [2], [4] y [6]) podrían tener algo de interés para ti o llevarte a una referencia relevante.

Zbigniew Piotrowski, "The genesis of separate versus joint continuity", Tatra Mountains Mathematical Publications 8 (1996), 113-126. [MR 98j:01026; Zbl 914.01007].

http://people.ysu.edu/~zpiotrowski/papers/genesisseperatevsjoint.pdf

sci.math -- "Continuidad en cada variable vs. continuidad conjunta" (4 de junio de 2005)

http://groups.google.com/group/sci.math/msg/a1b3752adec7650e