Dejemos que $G$ sea un grupo simple finito. Supongamos que $H$ es un subgrupo de $G$ con índice $n=|G:H|>1$ . Demostrar que $|H|$ divide $(n-1)!$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo simple finito. Supongamos que $H$ es un subgrupo de $G$ con índice $n=|G:H|>1$ . Demostrar que $|H|$ divide $(n-1)!$ Sugerencia: considere la acción de $G$ en los cosets derechos de $H$ en $G$ .

No estoy seguro de saber siquiera cuál sería el punto de partida. Gracias

Answer 1

La acción de $G$ en los cosets de $H$ da un homomorfismo $G\to S_n$ . Esto debe ser inyectivo, si no el núcleo sería un subgrupo normal de $G$ .

Ahora tenemos $n|H|=|G|$ y $|G|$ divide el orden de $S_n\ldots$