Algunas ideas aproximadas: -$\small{End(V\otimes W)\cong (V\otimes W)^*\otimes (V\otimes W)\cong (V^*\otimes V)\otimes (W^*\otimes W) \cong End(V)\otimes End(W)}$ y esto sigue siendo cierto como módulos $G$. Así que tu objeto es casi $T^2(\mathfrak g):=\mathfrak g \otimes \mathfrak g$ con $\mathfrak g=Lie(G)$. (de hecho $(\mathbb K\oplus \mathfrak g)\otimes (\mathbb K\oplus \mathfrak g)\cong \mathbb K\oplus \mathfrak g \oplus \mathfrak g\oplus T^2(\mathfrak g)$ como módulos $G$)
-$T^2(\mathfrak g)=S^2(\mathfrak g)\oplus\Lambda^2(\mathfrak g)$ donde los elementos de $S^2(\mathfrak g)$ son funciones polinómicas de grado $2$ en $\mathfrak g^*\cong\mathfrak g$, por lo que se entiende bien.
-Si deseas mirar los invariantes en $T^2(\mathfrak g)$, considerarás $S(T^2(\mathfrak g))\subset T(T^2(\mathfrak g))\subset T(\mathfrak g)$, el álgebra tensorial en $\mathfrak g$. Creo que algunas personas conocen algo en tipo A para tales invariantes. Tal vez hay algunas pistas en el artículo de Procesi: http://arxiv.org/abs/1501.05190
-para elementos específicos, puedes considerar los estabilizadores de un tensor puro $x_1\otimes x_2$ donde $x_1$ y $x_2$ son semisimples. Entonces $G^{(x_1\otimes x_2)}=G^{(x_1,x_2)}$ (este último es el estabilizador simultáneo de $x_1$ y $x_2$ en $G$). No puedo asegurarlo aún, ya que tengo que irme, pero creo que este estabilizador es genéricamente finito, incluso en este caso muy específico.
Editar: por supuesto, si $x_1$ y $x_2$ son elementos semisimples regulares que yacen en diferentes toros, el centralizador simultáneo es trivial.
