Digamos que tengo un sistema de EDOs $$ \dot{x} = f(x,y,t), \\ \dot{y} = g(x,y,t). $$ En este caso dado por la función de flujo $\psi(x,y,t)$ es decir $(\dot{x}, \dot{y}) = (-\partial_y\psi, \partial_x\psi) = (f, g)$ y sabemos que las trayectorias siguen órbitas periódicas.
¿Qué método numérico daría como resultado órbitas periódicas estables, si trazara dichas trayectorias?
Para tal sistema de ecuaciones, que a mí me parece hamiltoniano (tal vez la dependencia explícita de $\psi$ en $t$ podría hacer las cosas un poco más difíciles), la mejor clase de métodos es la de integradores simplécticos que son una subfamilia de los métodos Runge-Kutta. La mayoría de ellos son implícitos, pero si su Hamiltoniano $\psi$ tiene una estructura específica (es decir, separable), entonces tiene alternativas explícitas.
En particular, los métodos simplécticos tienen la propiedad favorable de conservar (casi) la energía durante largos periodos de tiempo, lo que da lugar a órbitas estables en el tiempo. El Euler explícito estándar hará que su energía explote, y el Euler implícito hará que implosione.
En concreto, un método simpléctico de orden 1 es el llamado método simpléctico de Euler. Para el orden 2, la elección es más amplia. Por ejemplo, el punto medio implícito es simpléctico, así como el método de Störmer-Verlet. La mejor referencia que existe para los métodos simplécticos (y la integración geométrica en general) es el libro Integración numérica geométrica: Algoritmos que conservan la estructura para ecuaciones diferenciales ordinarias de E. Hairer, C. Lubich y G. Wanner (Springer). El capítulo VI está dedicado exclusivamente al problema que nos ocupa.
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