Operador compacto autoadjunto con traza finita

Question

Tengo un operador autoadjunto compacto $T$ en un espacio de Hilbert separable. Para alguna base ortonormal fija, la diagonal del operador está en $\ell^1(\mathbb{N})$.

¿Podemos concluir que $T$ es de clase traza?

Answer 1

No, no podemos concluir que el operador sea de clase traza.

Por ejemplo, supongamos que un espacio de Hilbert tiene una base ortonomal $e_1,f_2,e_2,f_2,e_3,f_3,\ldots$, y $T$ intercambia $e_i,f_i$, mientras multiplica a ambos por un real positivo $\lambda_i$. Es decir, en estas coordenadas, la matriz de $T$ es una lista de bloques diagonales, con el bloque diagonal $i$-ésimo siendo anti-diagonal $\lambda_i,\lambda_i$.

Para $\lambda_i\rightarrow 0$, el operador es compacto, casi por definición.

Todas las entradas diagonales son $0$.

El operador es autoadjunto porque la matriz es real simétrica.

Sin embargo, el operador no es de clase traza a menos que $\sum_i |\lambda_i|<\infty$, lo cual fácilmente falla para muchas secuencias de reales positivos $\lambda_i\rightarrow 0$.

Editar: Es digno de notar que la análoga caracterización (no digo "definición" de forma intencionada) de "Hilbert-Schmidt" no depende de la elección de la base. Así, "definir" la clase traza como la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt a veces es más intrínseco, menos dependiente de la base o las coordenadas.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: ¡Operadores no compactos!

Dado el espacio de Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$.

Considere la suma de desplazamientos:* $$A_\pm:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):\quad A_\pm:=R\pm L$$

Tienen traza finita: $$\sum_n\langle A_\pm\delta_n,\delta_n\rangle=\sum_n0=0$$

Pero para los desplazamientos: $$\sum_n\langle|R|\delta_n,\delta_n\rangle=\sum_n1=\infty$$ $$\sum_n\langle|L|\delta_n,\delta_n\rangle=\sum_n1=\infty$$ Así que para la suma: $$\operatorname{Tr}A_\pm<\infty\implies\operatorname{Tr}A_\mp<\infty$$ Concluyendo un contraejemplo.

*Desplazamientos: Derecha e Izquierda