Pido disculpas si es una pregunta elemental. Estoy aprendiendo teoría de grupos y estoy intentando responder a algunas preguntas que me resultan bastante complicadas. En una pregunta, se me pide que demuestre que la composición de funciones es asociativa y luego qué propiedades adicionales se necesitan para obtener un grupo con la composición como operación de grupo.
Por lo tanto, teniendo en cuenta los axiomas de grupo, la composición de funciones es asociativa, por lo que se cumple el requisito de asociatividad. El conjunto de funciones también debe incluir el mapa de identidad (existencia de elemento de identidad).
Ahora bien, teniendo en cuenta qué otros requisitos puede haber, he pensado que para que el conjunto de funciones sea comparable deben ser todos mapas de $X \to X$ y deben ser todas biyecciones (necesarias también para la existencia de la inversa, creo).
Estoy tratando de averiguar si efectivamente es cierto que todas las funciones de un conjunto en un grupo tienen que ser biyecciones, pero no me he encontrado con que se diga esto. Esperaba que alguien pudiera verificar si mis ideas son correctas.
