¿Superficie Laplace-Beltrami sin coordenadas, cálculo exterior?

Question

Dejemos que $f: M \rightarrow \mathbb{R}^3$ sea una inmersión de una superficie $M$ . Con fines pedagógicos (es decir, ¡estoy dando una clase!) estoy buscando una expresión para el operador escalar de Laplace-Beltrami $\Delta$ aplicado a una función real $\phi$ en $f(M)$ eso:

1. depende explícitamente de la inmersión $f$ ,
2. no depende de las coordenadas locales, y
3. no utiliza el cálculo exterior.

Un estándar coordenadas La expresión es

$$\Delta \phi = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_i (\sqrt{|g|} g^{ij} \partial_j \phi),$$

y una expresión estándar utilizando el cálculo exterior es

$$\Delta\phi = \star d \star d \phi.$$

Sin embargo, los alumnos no están expuestos al cálculo exterior, y estoy desaconsejando el uso de coordenadas siempre que sea posible (y hasta ahora he podido arreglármelas sin ellas).

Para dar un ejemplo concreto del "estilo" de expresión que busco, considere la curvatura normal en una dirección $X \in TM$ que puede expresarse como

$$\kappa_n(X) = -\frac{dN(X) \cdot df(X)}{|df(X)|^2},$$

donde $N: M \rightarrow S^2 \subset \mathbb{R}^3$ es el mapa de Gauss y $\cdot$ denota el producto interno euclidiano habitual. Esta expresión utiliza la diferencial $d$ de una función, pero no utiliza la derivada exterior en $k$ -(al menos, no para $k>0$ ), ni utiliza la estrella de Hodge, ni se basa en un sistema de coordenadas.

En inglés, $\Delta$ no es difícil de describir: tomar la suma de las segundas derivadas a lo largo de direcciones ortogonales en el espacio ambiente. Pero después de indagar mucho, me sorprende que no haya una descripción algebraica más sugerente.

Gracias.

Answer 1

Es probable que no lo permitan, pero la siguiente receta funciona:

En primer lugar, dejemos que $\nabla\phi:M\to\mathbb{R}^3$ sea la (única) función vectorial que satisface $$ d\phi(X) = \nabla\phi\cdot df(X)\qquad\text{and}\qquad \nabla\phi\cdot N = 0. $$ para todos los campos vectoriales $X$ en $M$ . Entonces $\Delta\phi:M\to\mathbb{R}$ es la función que satisface $$ df(X)\cdot d(N\times \nabla\phi)(Y)-df(Y)\cdot d(N\times \nabla\phi)(X) = -\Delta \phi\ \ N\cdot\bigl(df(X)\times df(Y)\bigr). $$ para todos los campos vectoriales $X$ y $Y$ en $M$ .

Esto sólo utiliza $d$ en las funciones. Lo que puede no gustar es el uso de campos vectoriales "arbitrarios $X$ y $Y$ en $M$ que, esencialmente, sustituye el uso de formas diferenciales.

NB : He introducido el signo menos para que coincida con su convención para $\Delta$ tal y como lo has dado en la pregunta; tu laplaciano es el opuesto al laplaciano habitual del geómetra.

Answer 2

Esto es sólo un riff en la respuesta de Robert Bryant, pero pensé que iba a tirar por ahí - es la forma en que pienso en estas cosas en menos ....

Supongamos que $\mathbf{H}: M\to \mathbb{R}^3$ es el vector de curvatura media (es decir, localmente $\mathbf{H}=-H\mathbf{n}$ fueron $\mathbf{n}$ es un campo vectorial normal unitario a $f(M)$ y $H=tr A$ es la curvatura media -- está bien definida incluso si $M$ está desorientado). Por supuesto, esto depende de la inmersión.

Si $\phi$ es una función sobre $\mathbb{R}^3$ que restringe a $f(M)$ como la función dada $\phi$ entonces tenemos que $$ \Delta_{f(M)} \phi =\Delta_{\mathbb{R}^3} \phi -\nabla^2_{\mathbb{R}^3} \phi (\mathbf{n}, \mathbf{n})+\mathbf{H}\cdot \nabla_{\mathbb{R}^3} \phi $$

Tenga en cuenta que $\nabla^2_{\mathbb{R}^3} \phi (\mathbf{n}, \mathbf{n})$ tampoco depende de la elección de $\mathbf{n}$ por lo que también está bien definida en superficies no orientadas.