Rango del producto de 3 matrices

Question

Supongamos que tengo 3 matrices de n por n $A,B,C$ con $ABC=0$ ¿Cuál podría ser el rango máximo de $CBA$ ?

Supongo que la respuesta sería n pero no he conseguido demostrarlo( he intentado utilizar el Teorema de Rank-Nuillity pero no sé manipular 3 matrices). ¿Alguien puede darme alguna pista? Muchas gracias.

Answer 1

Para conseguir $ABC = 0$ la suma de las dimensiones de los núcleos de $A,B,C$ debe ser como mínimo $n$ . Además, el rango de $CBA$ no es más que el mínimo de los rangos de $A,B,C$ . Así que el mejor rango que se puede esperar para $CBA$ es $2n/3$ por el teorema de nulidad de rango. Para simplificar, digamos que $n$ es divisible por $3$ . Considere lo siguiente $3 \times 3$ matrices especificadas por columnas, donde $e_i$ denota el $i$ vector base (1 en la posición $i$ y 0 en el resto), y $0$ denota el $0$ -vector.

$$A = (0,e_2,e_3), B = (0,e_1,e_2), C = (e_1, e_2, e_1)$$ .

Entonces $ABC = 0$ pero $CBA$ tiene rango 2. Ahora, puede reemplazar cada entrada en el $3 \times 3$ matrices con un $d \times d$ matriz de identidad si la entrada es $1$ y, por otra parte, un $d \times d$ matriz de todos los ceros si la entrada es $0$ . Entonces obtendrá $3d \times 3d$ matrices tales que $ABC = 0$ y $CBA$ tiene rango $2d$ que es lo máximo a lo que se puede aspirar. Así que $2n/3$ es la respuesta para el rango máximo de $CBA$ .