Estimación de la diferencia entre la media aritmética y la armónica.

Question

Dejemos que $0<a<b$

El ejercicio consiste en demostrar que el intervalo anidado definido recursivamente $I_1:[a,b],I_{n+1}:[a_{n+1},b_{n+1}]$ con $a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}$ y $b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$ es en realidad un intervalo anidado y entonces que el número que está siempre en todos los intervalos es $\sqrt{ab}$ .

Necesito ayuda para demostrar que la distancia de los intervalos es cero.

Cuando miro la diferencia $b-a$ Me sale

con algunas manipulaciones la fracción

$b-a=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$

Lo que busco es una estimación menor que dependa de $b$ y $a$ . ¿Puede ayudarme, por favor?

Answer 1

Álgebra directa con un poco de ingenio.

Si $0 < a_n < b_n$ , entonces

$\begin{array}\\ a_{n+1}-a_n &=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}-a_n\\ &=\frac{2a_nb_n-a_n(a_n+b_n)}{a_n+b_n}\\ &=\frac{a_nb_n-a_n^2}{a_n+b_n}\\ &=\frac{a_n(b_n-a_n)}{a_n+b_n}\\ &\gt 0\\ b_{n+1}-b_n &=\frac{a_n+b_n}{2}-a_n\\ &=\frac{a_n+b_n-2b_n}{2}\\ &=\frac{a_n-b_n}{2}\\ &\lt 0\\ b_{n+1}-a_{n+1} &=\frac{a_n+b_n}{2}-\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\\ &=\frac{(a_n+b_n)^2-4a_nb_n}{2(a_n+b_n)}\\ &=\frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_n+b_n)}\\ &\gt 0\\ \end{array} $

para que $a_n < a_{n+1} \lt b_{n+1} < b_n $ .

También,

$\begin{array}\\ b_{n+1}-a_{n+1} &=\frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_n+b_n)}\\ &=\frac{(b_n-a_n)(1-a_n/b_n)}{2(a_n/b_n+1)}\\ &<\frac{b_n-a_n}{2} \quad\text{since }1-a_n/b_n<1, a_n/b_n+1>1\\ \end{array} $

Por lo tanto, $0 < b_{n+k}-a_{n+k} \lt \frac{b_n-a_n}{2^k} \to 0 $ .

Answer 2

Pistas: $$I_1:[a,b],I_{n+1}:[a_{n+1},b_{n+1}] \Rightarrow I_1:[a_1,b_1].$$ Y en base a HM-GM-AM : $$a_1\le a_2=\frac{2}{\frac1{a_1}+\frac1{b_1}}\le \sqrt{a_1b_1}\le \frac{a_1+b_1}{2}=b_2 \le b_1;\\ a_2\le a_3=\frac{2}{\frac1{a_2}+\frac1{b_2}}\le\sqrt{a_2b_2}\le \frac{a_2+b_2}{2}=b_3\le b_2;\\ \vdots\\ a_n\le a_{n+1}=\frac{2}{\frac1{a_n}+\frac1{b_n}}\le \sqrt{a_nb_n}\le \frac{a_n+b_n}{2}=b_{n+1}\le b_n.$$ Son las secuencias monotónicas acotadas.