¿Existen teoremas sobre la "cantidad de divergencia oscilante" de las series?

Question

¿Existe un conjunto de teoremas sobre las series de "cantidad de divergencia"?

Me explico con un ejemplo. El Dirchlet $\eta$ serie $\sum_n (-1)^{n-1} n^{-x}$ converge cuando $x > 0$ . Podemos decir cantidad de divergencias cuando $x>0$ es $0$ . Cuando $x=0$ la suma parcial oscila entre $1$ y $0$ por lo que la cantidad de divergencia en $x=0$ es $1$ y más concretamente el límite de las oscilaciones está entre $1$ y $0$ . ¿Existen teoremas sobre este tipo de análisis?

Me gustaría examinar si las fluctuaciones de la suma parcial se mantienen dentro de un rango determinado para varios valores de $x$ para algunas series.

Gracias.

Answer 1

El estudio de las series divergentes hasta principios del siglo XX fue magistralmente resumido en el libro de Hardy [1], véase también [2]. Extensiones significativas fueron desarrolladas por Boshernitzan en la década de 1980, véase [3], [4], [5], con algunos trabajos coincidentes de Rosenlicht [6].

[1] Hardy, Godfrey Harold. Serie divergente. Vol. 334. American Mathematical Soc., 2000.

[2] Tucciarone, J., 1973. El desarrollo de la teoría de las series divergentes sumables de 1880 a 1925. Archivo de historia de las ciencias exactas, 10(1), pp.1-40.

[3] Boshernitzan, Michael. "Una extensión de la clase L de Hardy de "órdenes de infinito"". Journal d'Analyse Mathématique 39, no. 1 (1981): 235-255.

[4] Boshernitzan, Michael. "Campos de Hardy y existencia de funciones transexponenciales". Aequationes mathematicae 30, no. 1 (1986): 258-280.

[5] Boshernitzan, M., 1984. Discrete" Orders of Infinity". American Journal of Mathematics, 106(5), pp.1147-1198.

[6] Rosenlicht, Maxwell. "Propiedades de crecimiento de funciones en campos de Hardy". Transactions of the American Mathematical Society 299, no. 1 (1987): 261-272.