Hace $E(X^2)\ge 0$ ¿siempre se mantiene?

Question

En la teoría de la probabilidad, siempre es $E(X^2)\geq0$ ?

Creo que es porque $X^2\geq0$ y la probabilidad $P(x) \in [0,1]$ .

Answer 1

Realmente depende de dónde esté la variable aleatoria $X$ salidas. Por ejemplo, si $X:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ y $\Pr{( X=i)}=1$ entonces $E(X)=-1$ . De todos modos si $X$ es, por ejemplo, una verdadera r.v. entonces tienes razón

Answer 2

Mientras $X$ es una variable aleatoria real, entonces sí. Suponiendo que $X$ es una variable aleatoria continua y se distribuye sobre $\mathbb{R}$ según alguna función de densidad de probabilidad válida $f$ entonces $$E[X^2]=\int _{\mathbb{R}} x^{2} f( x) dx.$$ Desde $x^2\geq0 \ \forall x\in \mathbb{R}$ y por definición $f(x)\geq0 \ \forall x\in \mathbb{R}$ (ya que $f$ es un PDF), entonces $E[X^2]\geq0$ . Este resultado es fácil de ver también para un caso discreto.